Économétrie — TD 9

Simulation de Monte Carlo

Author

Pierre Beaucoral

Code 
library(knitr)
knit_hooks$set(optipng = hook_optipng)

1 Introduction générale

1.1 1.1 Origines de la méthode

« The Monte Carlo method … is an invention of statistical sampling for the solution of mathematical problems for which direct methods are not feasible. » @metropolis1949.

  • Le nom Monte Carlo fait référence au casino de Monaco, symbole du hasard.
  • Mise en œuvre pour la première fois dans les années 1940, durant le projet Manhattan en physique nucléaire.
  • Objectif initial : approximer des intégrales complexes ou des probabilités impossibles à calculer analytiquement.

Article original Metropolis & Ulam (1949)

1.2 1.2 Idée en économétrie

Une simulation de Monte Carlo est une expérience de pensée codée sur ordinateur :

  1. Spécifier un modèle théorique connu (par exemple une régression linéaire).
  2. Fixer les « vrais » paramètres et la distribution de l’erreur (normale, χ², etc.).
  3. Générer artificiellement de nombreux échantillons de données.
  4. Estimer sur chacun de ces échantillons le même modèle que l’on veut étudier.
  5. Observer empiriquement la distribution des estimateurs : biais, variance, forme, robustesse des tests.
Tip

La simulation de Monte Carlo agit comme un laboratoire virtuel : elle permet de vérifier et d’illustrer les propriétés théoriques des estimateurs quand la démonstration analytique est complexe ou quand on veut observer leur comportement “en pratique”.

2 2. Mise en œuvre pratique

2.1 2.1 Étapes générales d’une simulation

  • Fixer la taille d’échantillon \(n\) et le nombre de répliques \(R\).
  • Définir le modèle :
    \[ y_i = \alpha + \beta x_i + \varepsilon_i \] avec par exemple \(\varepsilon_i \sim \mathcal{N}(0,1)\).
  • Pour chaque réplication \(r = 1,\dots,R\) :
    1. Générer les \(x_i\) et les erreurs \(\varepsilon_i\).
    2. Calculer \(y_i\).
    3. Estimer \((\hat\alpha_r,\hat\beta_r)\) par MCO.
  • Analyser la distribution empirique des \(\hat\beta_r\) : moyenne, variance, skewness, kurtosis, comparaison à la valeur vraie \(\beta\).

2.2 2.2 Commandes EViews utiles

Action Commande
Générer une normale centrée réduite series e = nrnd
Générer une loi χ²(v) series e = @rchisq(v)
Créer une variable simulée series y1 = 7 + 0.4*lsize + 0.8*bed + 0.2*bath + 0.2*airco + e
Estimer par MCO ls y1 c lsize bed bath airco
Lancer un programme run Montecarlo.prg

3 3. Exemple R : animation de la convergence

Figure 1: Histogramme cumulatif des estimateurs de β (vraie valeur = 2).

Ce graphique illustre la loi des grands nombres : à mesure que le nombre d’itérations augmente, l’histogramme des $\hat\beta$ se resserre autour de la vraie valeur \(\beta=2\).

4 Questions du TD et réponses détaillées

4.1 Q1 — Générer y1 et estimer

En supposant $\varepsilon \sim \mathcal{N}(0,1)$, générez une série y1 et estimezl’équation par MCO.

Afficher la réponse

EViews :

series e = nrnd
series y1 = 7 + 0.4*lsize + 0.8*bed + 0.2*bath + 0.2*airco + e
ls y1 c lsize bed bath airco

Les coefficients estimés doivent être proches des valeurs vraies (0.4, 0.8, 0.2, 0.2) avec de légères fluctuations aléatoires.

4.2 Q2 — Répéter y2…y5

Refaire la Q1 pour y2 à y5, même modèle, nouvelles erreurs.

Afficher la réponse

Même démarche en changeant le nom de la série (y2, y3 …). Comparer les \(\hat\beta\) obtenus : on doit observer une dispersion autour des valeurs vraies, illustrant la variabilité d’échantillonnage.

4.3 Q3 — Programme Monte Carlo

Ouvrez Montecarlo.prg, exécutez-le. Les coefficients sont enregistrés dans la matrice resultat. Faites un histogramme et calculez moyenne, variance, skewness, kurtosis.

Afficher la réponse 
run Montecarlo.prg

Puis View → Descriptive Statistics → Histogram & Stats sur chaque colonne de resultat.
Les estimateurs doivent avoir :

  • une moyenne proche du vrai paramètre (absence de biais),

  • une variance reflétant la précision,

  • skewness ≈ 0 et kurtosis ≈ 3 si les erreurs sont normales.

4.4 Q4 — 1000 itérations

Appliquer la même procédure avec 1000 itérations.

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Dans Montecarlo.prg, modifier :

!nbiter = 1000

et exécuter.

La moyenne des \(\hat\beta\) se rapproche encore plus de la valeur vraie,

et la variance estimée se stabilise — illustration de la loi des grands nombres.

4.5 Q5 — Variance d’erreur différente

Refaire 1–4 en supposant \(\varepsilon \sim \mathcal{N}(0,0.625)\), 1000 puis 5000 simulations.

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series e = sqrt(0.625)*nrnd

Une variance d’erreur plus faible ⇒ des estimateurs plus précis (variance plus faible).
Avec 5000 simulations, l’évaluation des moments (moyenne, variance, skewness, kurtosis) devient plus stable.

4.6 Q6 — Erreurs non normales

Refaire 1–4 avec \(\varepsilon \sim \chi^2(7)\), 1000 puis 5000 simulations.

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series e = @rchisq(7)

La distribution est asymétrique (skewness > 0). Les MCO restent asymptotiquement sans biais, mais les tests t/F, fondés sur la normalité, peuvent avoir un risque de première espèce mal calibré.

⇒ Utiliser des erreurs-types robustes (White, HAC) ou des tests non paramétriques pour l’inférence.

5 5. Points clés à retenir

  • La simulation de Monte Carlo est un outil de validation empirique : elle confirme les propriétés théoriques des estimateurs et permet de tester la robustesse des procédures statistiques.

  • Les estimateurs MCO restent sans biais même si les erreursne sont pas normales, mais l’inférence (tests t/F) peut devenir peu fiable en petit échantillon.

  • En cas de non-normalité, recourir à des erreurs-types robustes ou à des méthodes d’inférence alternatives (bootstrap, tests non paramétriques).