Économétrie — TD 6
Endogénéité & Méthode des Variables Instrumentales
1 Introduction
Ce polycopié reprend les notions des slides (TD 6) et les développe avec des explications, exemples simulés et schémas produits en R. Objectifs:
1) Rappeler les hypothèses MCO et la notion d’exogénéité;
2) Identifier trois sources d’endogénéité (omission, causalité inverse, erreur de mesure);
3) Introduire la méthode des variables instrumentales (2SLS/DMC), les tests (faiblesse, Sargan/Hansen, DWH) et l’implémentation EViews.
Note
Notation. On note \(Y\) la variable expliquée, \(X\) la(les) variable(s) potentiellement endogène(s), \(Z\) l’instrument (ou le vecteur d’instruments), \(W\) les contrôles exogènes, et \(u\)/\(\\varepsilon\) l’erreur.
2 Rappel MCO (BLUE) et exogénéité
Hypothèses MCO usuelles (modèle linéaire) :
\(\mathbb{E}[u_i]=0\)
\(\mathrm{Var}(u_i)=\sigma^2\) (homoscédasticité) ;
\(\mathrm{Cov}(u_i,u_j)=0\) (pas d’autocorrélation) ;
\(\mathrm{Cov}(X, u)=0\) (exogénéité).
Conséquence clé : si \(\mathrm{Cov}(X,u)\neq 0\), l’estimateur MCO de l’effet causal de \(X\) sur \(Y\) est biaisé (et non convergent).
3 Origines de l’endogénéité (avec schémas)
3.1 Omission d’une variable pertinente
Vrai modèle \(Y=\beta_0+\beta_1 X_1+\beta_2 X_2+u\), mais on omet \(X_2\) et on estime \(Y=\beta_0+\beta_1 X_1+u\). Si \(X_1\) est corrélé avec \(X_2\), alors \(\mathrm{Cov}(X_1,u)\neq 0\) et \(\hat\beta_1^{OLS}\) est biaisé.
# A tibble: 3 × 7
# Groups: group [3]
group term estimate std.error statistic p.value where
<chr> <chr> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <chr>
1 A (faible X2) x 0.852 0.0323 26.4 4.32e-85 within
2 B (fort X2) x 0.829 0.0282 29.4 3.61e-96 within
3 Pooled x -0.129 0.0340 -3.79 1.66e- 4 pooled
Sens du biais (mémo) :
| \(\mathrm{corr}(X_1,X_2)>0\) | \(\mathrm{corr}(X_1,X_2)<0\) | |
|---|---|---|
| \(\beta_2>0\) | biais positif | biais négatif |
| \(\beta_2<0\) | biais négatif | biais positif |
3.2 Causalité inverse
Boucle de rétroaction : \(Y\to X\) et \(X\to Y\).
Ex. dette publique ↔︎ croissance.
Causalité inverse générique X ↔︎ Y avec exemples économiques
Effet sur \(\hat\beta_1^{OLS}\) : il « récupère » une partie du retour \(Y\to X\).
3.3 Erreur de mesure sur \(X\)
On observe \(\tilde X = X + \nu\). L’OLS de \(Y\sim \tilde X\) subit un biais d’atténuation (vers 0).
4 Variables instrumentales (VI) et 2SLS
4.1 Principe
But : utiliser un instrument \(Z\) pour isoler la variation exogène de \(X\).
- Pertinence : \(\mathrm{Cov}(Z,X)\neq 0\) (1ʳᵉ étape explicative).
- Exogénéité exclue : \(\mathrm{Cov}(Z,u)=0\) (Z n’affecte Y que via X).
Procédure 2SLS :
1) \(X = \pi_0 + \pi_1 Z + W'\pi + v\) → obtenir \(\hat X\) ;
2) \(Y = \beta_0 + \beta_1 \hat X + W'\gamma + u\).
Lecture attendue : \(\hat\beta^{OLS}\) sur \(X\) est biaisé (ici vers le haut, car \(X\) corrélé à \(u\)). L’estimateur 2SLS se rapproche de la vraie valeur (\(1{.}5\)) si \(Z\) est suffisamment pertinent et valide.
4.2 Instruments faibles (pertinence)
On regarde le F de 1ʳᵉ étape (régression de \(X\) sur \(Z\) et \(W\)) ; règle pratique usuelle : \(F>10\).
4.3 Validité de l’instrument (exogénéité)
Si l’on dispose de plus d’instruments que de variables endogènes (sur‑id), on peut tester l’orthogonalité (Sargan/Hansen‑J).
Caution
Rappel : ces tests ne remplacent jamais l’argument économique.
5 Faut‑il instrumenter ? (DWH / Nakamura–Nakamura)
Tester si l’estimation OLS est cohérente :
- \(H_0\) : MCO non biaisé (\(\beta^{OLS}\approx\beta^{2SLS}\)) → on préfère OLS (plus précis).
- \(H_A\) : MCO biaisé → on préfère 2SLS.
Tip
Décision : si le résidu de 1ʳᵉ étape est significatif, on rejette \(H_0\) (OLS biaisé) et l’on retient la spécification 2SLS.
6 Schémas/organigrammes utiles
7 Mise en œuvre dans EViews (rappel)
- 2SLS/IV :
Quick → Estimate Equation→ Method: TSLS. - Endogeneity test (DWH) :
View → IV Diagnostics and Tests → Regressor Endogeneity Test. - Weak instruments :
View → IV Diagnostics and Tests → Weak Instrument Diagnostics. - Instrument orthogonality :
View → IV Diagnostics and Tests → Instrument Orthogonality Test.
8 Questions de TD
8.1 Q1 — Charger le workfile
Chargez le workfile Marshall (contient
offre1–offre4,p1–p4,Y,W).
Afficher la réponse
EViews. File → Open → Workfile puis sélectionnez Marshall.wf*.
Vérifiez les séries (aperçu, stats descriptives : View → Descriptive Statistics).
8.2 Q2 — Estimations MCO
Estimez
offre1 = c + β p1,offre2 = c + β p2,offre3 = c + β p3et
offre4 = c + β p4 + π W(avecWexogène).
Afficher la réponse
Quick → Estimate Equation puis entrez :
offre1 c p1 ; offre2 c p2 ; offre3 c p3 ; offre4 c p4 W.
Notez signe/magnitude de \(\hat\beta\), p‑values, \(R^2\), résidus.
Rappel : si \(\mathrm{Cov}(P,\varepsilon)\neq 0\), OLS biaisé.
8.3 Q3 — Test d’exogénéité (Nakamura & Nakamura / DWH)
Avec
Ycomme instrument des prix, testez l’exogénéité des variables de prix.
Afficher la réponse
Dans EViews : View → IV Diagnostics and Tests → Regressor Endogeneity Test.
\(H_0\) : exogénéité. Si stat. (χ²/F) significative → rejeter \(H_0\) (prix endogène).
8.4 Q4 — Estimation en VI (2SLS)
Si nécessaire, estimez les équations d’offre en 2SLS avec
Yinstrument (etWexogène dansoffre4).
Afficher la réponse
Quick → Estimate Equation → Method: TSLS.
Endogènes : p1 (ou p2/p3/p4). Instruments : Y (+ W en exogène).
Diagnostics : F 1ʳᵉ étape (faiblesse), Hansen/Sargan (sur‑id), DWH (faut‑il instrumenter ?).
9 Points clés à retenir
- Identifier la source d’endogénéité oriente la solution (contrôles, interactions, VI…).
- 2SLS corrige le biais si \(Z\) est pertinent et valide.
- Diagnostics : F 1ʳᵉ étape, Hansen/Sargan, DWH.
- L’argument économique reste central (au‑delà des seuls tests).