Économétrie — TD 3
Regressions MCO (EViews)
1 Introduction
Ce document reprend le contenu de TD 3 sous forme de cours. On revoit les éléments fondamentaux de la régression linéaire, la décomposition ANOVA, les indicateurs de qualité d’ajustement ( \(R^2\), \(\bar R^2\) ), puis les tests t et F. Une section explique l’importance économique des variables et la lecture des coefficients standardisés. Les questions / réponses du TD sont fournies à la fin.
2 Rappels sur la régression linéaire
La régression linéaire sert à quantifier et tester la relation entre une variable expliquée (Y) et une ou plusieurs variables explicatives (X).
En pratique, elle permet de:
Décrire : mesurer la force et le sens d’un lien (ex. hausse du revenu → hausse de la consommation).
Prédire : estimer la valeur attendue de Y pour de nouvelles valeurs de X.
Expliquer : isoler l’effet propre de chaque facteur en contrôlant les autres.
Tester : vérifier des hypothèses (par exemple \(H_0:\beta_j = 0\) ) grâce aux tests t ou F.
En résumé, c’est un outil central pour analyser et interpréter des données, évaluer l’importance relative des déterminants d’un phénomène et faire des prévisions fondées.
2.1 Modèle simple et interprétation de \(\beta_0\) et \(\beta_1\)
On suppose : \(Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \varepsilon_i,\quad i=1,\dots,N,\) où \(\varepsilon_i\) est centré et non corrélé aux régresseurs.
Objectif MCO (OLS) : minimiser \(\sum_i (Y_i - \beta_0 - \beta_1 X_i)^2\) .
Interprétation :
- \(\beta_0\) est l’ordonnée à l’origine (valeur de (Y) quand (X=0)).
- \(\beta_1\) est la pente (variation moyenne de (Y) quand (X) augmente d’une unité).
2.1.1 Illustration graphique
2.2 Forme matricielle et estimateur OLS
En multiple : \(Y = X\beta + \varepsilon\) et \(\hat\beta = (X'X)^{-1}X'Y\) .
Les valeurs ajustées sont \(\hat Y = X\hat\beta\) et les résidus \(\hat\varepsilon = Y - \hat Y\) .
La forme matricielle de la régression linéaire : \(Y = X\beta + \varepsilon\) n’est pas juste un “raccourci d’écriture”, elle a plusieurs implications importantes :
2.2.1 Écriture compacte et générale
Elle englobe en une seule équation le modèle avec plusieurs variables explicatives et plusieurs observations.
Que l’on ait 2 ou 200 régresseurs, la notation reste la même.
Le vecteur \(Y\) contient toutes les observations de la variable dépendante, la matrice \(X\) toutes les observations de toutes les variables explicatives (y compris une colonne de 1 pour l’intercept).
2.2.2 Estimation par l’algèbre linéaire
L’estimateur OLS \(\hat\beta = (X'X)^{-1} X'Y\) se déduit directement des règles de dérivation matricielle (minimisation de la somme des carrés).
Cette formule montre les conditions d’existence : la matrice \(X'X\) doit être inversible → donc les colonnes de \(X\) (les variables explicatives) doivent être linéairement indépendantes (pas de multicolinéarité parfaite).
2.2.3 Propriétés géométriques
Le vecteur des valeurs ajustées \(\hat Y = X \hat\beta\) est la projection orthogonale de \(Y\) sur l’espace engendré par les colonnes de \(X\).
Les résidus \(\hat\varepsilon = Y - \hat Y\) sont orthogonaux à cet espace :
\(X'\hat\varepsilon=0\) .
→ Les variables explicatives ne sont pas corrélées aux résidus.
Extension à d’autres modèles
Cette écriture facilite les généralisations : régression multiple, modèles de panel, régressions pondérées, moindres carrés généralisés, etc.
Elle permet d’utiliser directement les outils de l’algèbre linéaire (décomposition en valeurs propres, moindres carrés ordinaires ou généralisés).
3 Décomposition ANOVA et qualité d’ajustement
L’ANOVA (pour ANalysis Of VAriance, ou analyse de la variance) est une méthode statistique qui décompose la variabilité totale d’une variable en plusieurs composantes, afin de comparer et de tester les effets de différents facteurs.
Dans le cadre de la régression linéaire, l’ANOVA sert à expliquer d’où vient la variance observée de la variable dépendante \(Y\) :
3.1 ANOVA : \(\text{SCT} = \text{SCE} + \text{SCR}\)
La somme des carrés totale (SCT) se décompose en somme des carrés expliquée (SCE) et somme des carrés des résidus (SCR) : \(\sum_i (Y_i - \bar Y)^2 = \sum_i (\hat Y_i - \bar Y)^2 + \sum_i (Y_i - \hat Y_i)^2.\)
3.1.1 Schéma visuel
3.2 \(R^2\) et \(\bar R^2\)
\(R^2 = \frac{\text{SCE}}{\text{SCT}} = 1 - \frac{\text{SCR}}{\text{SCT}},\quad \bar R^2 = 1 - (1 - R^2)\frac{N-1}{N-p}\) .
- \(R^2\) mesure la part de variance expliquée.
- \(\bar R^2\) pénalise l’ajout de régresseurs superflus.
- Attention : on ne cherche pas à maximiser \(R^2\) en ajoutant des variables sans justification.
4 Tests d’hypothèses
4.1 Utiliser un test d’hypothèse avec une table de valeurs critiques
Pour utiliser un test d’hypothèse avec une table de valeurs critiques (table t de Student, table F, table du Khi-deux…), on suit toujours la même logique en 4 étapes :
4.1.1 Formuler les hypothèses
Hypothèse nulle \(H_0\) : ce qu’on veut tester (ex. \(\beta = 0\), « les moyennes sont égales »).
Hypothèse alternative \(H_1\) : ce qu’on conclut si \(H_0\) est rejetée (ex. \(\beta \neq 0\)).
Préciser si le test est :
- bilatéral : on rejette si la statistique est trop grande en valeur absolue.
- unilatéral : on rejette seulement dans une queue.
4.1.2 Choisir le niveau de risque
Fixer le niveau de signification \(\alpha\), par exemple 5 % \(0,05\).
Cela correspond au risque d’erreur de type I (rejeter \(H_0\) alors qu’elle est vraie).
4.1.3 Calculer la statistique de test
À partir de vos données :
pour un test t : \(t = \frac{\hat\beta - \beta_0}{\widehat{se}(\hat\beta)}\)
pour un test F : \(F = \frac{(\text{SCE}/q)}{(\text{SCR}/(N-p))}\)
… ou la statistique adaptée au test choisi.
4.1.4 Comparer à la table
- Chercher dans la table de la loi correspondante (t, F, …) la valeur critique :
- connaître les degrés de liberté (ex. \(N-p\) pour \(t\), \(q\) et \(N-p\) pour \(F\)) ;
- choisir la colonne de \(\alpha\) (ou \(\alpha/2\) pour un test bilatéral).
- Décision :
- bilatéral : rejeter \(H_0)\) si \(|\text{statistique}| > t^*_{\alpha/2}\).
- unilatéral à droite : rejeter \(H_0\) si \(\text{statistique} > t^*_{\alpha}) ou (F > F^*_{\alpha}\).
4.2 Test t (significativité individuelle)
On teste typiquement \(H_0:\beta_j=0\) vs \(H_1:\beta_j\neq 0\).
Statistique : \(t = \hat\beta_j / \widehat{se}(\hat\beta_j)\) .
Décision bilatérale au seuil \(\alpha\) : rejeter (H_0) si \(|t| > t^*_{\alpha/2, \nu}\).
4.2.1 Visualisation du test t (bilatéral)
4.3 Test F (significativité conjointe)
On teste \(H_0\) : un ensemble de coefficients (= 0) (excluant la constante).
Sous \(H_0\)$, \(F \sim F(q, N-p)\) (queue droite).
4.3.1 Visualisation du test F
5 Importance économique et coefficients standardisés
Une variable peut être statistiquement significative mais économiquement peu pertinente. Pour évaluer l’importance économique :
- Comparer les coefficients standardisés (EViews :
View → Coefficient diagnostics → Scaled coefficient).
→ effet en écarts-types (comparaison relative entre variables).
- Interpréter l’ordre de grandeur selon la forme fonctionnelle :
- Log–lin (Y en log, X en niveau) : 1 unité de (X) ≈ % de variation de (Y).
- Log–log : élasticité (1 % de (X) → () % de (Y)).
- Lin–log : 1 % de (X) → variation absolue de (Y).
- Log–lin (Y en log, X en niveau) : 1 unité de (X) ≈ % de variation de (Y).
Exemple du TD : la variable intercontinentale a le plus grand coef. standardisé (~0,42). Comme (Y) est en log et (X) en niveau, devenir intercontinental est associé à ≈ +10,5 % de passagers (ceteris paribus).
6 Questions – Réponses (TD3)
Les questions sont celles de
module2.docx(Module 2). Les réponses décrivent la procédure EViews et l’interprétation.
6.0.1 Question : Importez la base de données sur les compagnies aériennes.
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Menu File → Open → Foreign Data as Workfile puis sélectionner le fichier.
6.0.2 Question : Créez le logarithme du nombre de passagers (passagers). Quelle est l’utilité de cette transformation ?
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Commande :
genr logpassagers = log(passagers)Utilités : stabiliser les variances, réduire l’influence des valeurs extrêmes, faciliter une lecture en % et souvent linéariser la relation.
6.0.3 Question : Estimez l’équation suivante par les MCO. Dans quelle mesure cette équation peut-elle être considérée comme linéaire ?
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Object → New Object → Equation → LS (Least Squares).
Une équation est linéaire en paramètres si les coefficients sont à la puissance 1 et s’additionnent (les logs n’empêchent pas la linéarité en paramètres).
6.0.4 Question : Distinguez les variables dépendantes, indépendantes, d’intérêt et de contrôle.
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- Dépendante :
logpassagers.
- Indépendantes (ex.) :
ratio,public,low_cost,age,intercontinental, croissance trafic destination (2010–2013), croissance trafic pays d’origine (2010–2013).
- D’intérêt :
ratio(ou sa déclinaison en mortels / non mortels).
- Contrôle : les autres explicatives listées.
6.0.5 Question : D’après le R² de l’estimation, l’équation a-t-elle un pouvoir explicatif correct ?
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Lire R-squared et Adjusted R-squared. Par ex., un R² ≈ 0,39 indique un pouvoir explicatif modéré ; \(\bar R^2\) pénalise les variables superflues.
6.0.6 Question : Le nombre d’accidents par passagers est-il significativement différent de zéro ?
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Regarder t-Statistic et Prob. (p-value). En bilatéral, si p < () (ou |t| > t*), on rejette (H_0:). (Ex. : (|t|22 > 1{,}658)).
6.0.7 Question : Distinguer accidents mortels et non mortels et réestimer l’équation.
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Créer deux variables (ou utiliser celles existantes) et réestimer en remplaçant ratio par mortels et non mortels par passager.
6.0.8 Question : Ces variables sont-elles individuellement et conjointement significatives ?
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- Individuellement : lire t-Statistic / Prob..
- Conjointement : View → Coefficient Diagnostics → Wald test (ou test F entre modèles emboîtés) pour tester que les deux coefficients = 0.
6.0.9 Question : Quelle variable semble la plus importante d’un point de vue économique ? Comment interpréter le coefficient obtenu ?
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Procédure : View → Coefficient diagnostics → Scaled coefficient.
Résultat : intercontinental a le plus grand coef. standardisé (~0,42).
Interprétation (log–lin) : devenir intercontinental est associé à ≈ +10,5 % de passagers, toutes choses égales par ailleurs.