Économétrie — TD 7

Exogénéité, instrumentation et sur-identification

Author

Pierre Beaucoral

1 Rappel de cours

1.1 Contexte : endogénéité et variables instrumentales

On part d’un modèle linéaire simple :

\[ y_i = \beta x_i + \gamma' w_i + u_i \]

  • \(y_i\) : variable expliquée
  • \(x_i\) : régresseur endogène (corrélé au terme d’erreur)
  • \(w_i\) : contrôles exogènes
  • \(u_i\) : terme d’erreur

Problème : si
\[\operatorname{Cov}(x_i, u_i) \neq 0\]
alors l’estimateur MCO de \(\beta\) est biaisé et inconsistant.

Idée des variables instrumentales (VI) : introduire des variables \(z_i\) telles que :

  1. (Pertinence) \(\operatorname{Cov}(z_i, x_i) \neq 0\)
  2. (Exogénéité / validité) \(\operatorname{Cov}(z_i, u_i) = 0\)

Ces instruments permettent d’identifier \(\beta\) même si \(x_i\) est endogène.

1.2 Notation matricielle et identification

On empile les données :

  • \(y\) : vecteur \((n \times 1)\)
  • \(X\) : matrice \((n \times K)\) des régresseurs (dont certains endogènes)
  • \(W\) : variables exogènes incluses dans le modèle
  • \(Z\) : matrice \((n \times L)\) des instruments (et exogènes)

Conditions clés pour les VI :

  • Validité des instruments :\[ E[Z'u] = 0 \]
  • Pertinence / rang :\[ \operatorname{rang}(E[Z'X]) = K \]

où \(K\) est le nombre de variables endogènes à instrumenter.

1.3 Exact-identification vs sur-identification

On note :

  • \(K\) : nombre de variables endogènes instrumentées
  • \(L\) : nombre d’instruments (hors exogènes inclus dans \(X\))

Cas possibles :

  • Sous-identifié : \(L < K\)
    ⟶ pas assez d’instruments, le modèle n’est pas identifié.

  • Exactement identifié : \(L = K\)
    ⟶ autant d’instruments que de variables endogènes.

  • Sur-identifié : \(L > K\)
    ⟶ plus d’instruments que nécessaire.

Dans le cas sur-identifié, on a plus de conditions d’exogénéité \(E[Z'u]=0\) que nécessaire pour identifier les paramètres. Ces conditions supplémentaires peuvent être testées empiriquement : c’est le rôle du test de sur-identification de Sargan.

1.4 Intuition du test de sur-identification

Idée simple :

  1. On estime le modèle par VI (typiquement 2SLS) et on obtient les résidus :\[ \hat{u}_i = y_i - \hat{y}_i \]

  2. Si tous les instruments sont bien exogènes, alors ils doivent être orthogonaux aux erreurs vraies \(u_i\), et donc approximativement à \(\hat{u}_i\) :

    \[ E[z_{ji} \hat{u}_i] \approx 0 \quad \forall j \]

  3. Si l’on arrive à expliquer les résidus \(\hat{u}_i\) par les instruments \(Z\), cela suggère que ces instruments sont en fait corrélés au terme d’erreur, donc invalides.

Le test de Sargan mesure précisément la “force” de cette éventuelle corrélation entre \(\hat{u}_i\) et \(Z\).

1.5 Construction de la statistique de Sargan (cas homoscédastique)

1.5.1 Étape 1 : estimation VI

On estime le modèle :

\[ y = X\beta + u \]

par 2SLS en utilisant \(Z\) comme instruments, et on obtient l’estimateur \(\hat{\beta}_{2SLS}\) et les résidus \(\hat{u}\) :

\[ \hat{u} = y - X\hat{\beta}_{2SLS} \]

1.5.2 Étape 2 : régression auxiliaire

On régresse ensuite les résidus \(\hat{u}\) sur l’ensemble des instruments \(Z\) (et, en pratique, les exogènes inclus dans \(X\)) :

\[ \hat{u}_i = \delta_0 + Z_i' \delta + v_i \]

On note \(R^2_{\hat{u}\sim Z}\) le coefficient de détermination de cette régression.

1.5.3 Statistique de Sargan

La statistique de Sargan est définie par :

\[ J = n \times R^2_{\hat{u}\sim Z} \]

où \(n\) est la taille de l’échantillon.

Intuition : plus \(R^2\) est élevé, plus les instruments expliquent bien les résidus, donc plus il est suspect que les instruments soient corrélés à \(u\).

1.6 Loi asymptotique et hypothèses

Sous les hypothèses suivantes :

  • instruments valides : \(E[Z'u] = 0\)
  • homoscédasticité des erreurs \(u_i\)
  • spécification correcte du modèle (forme fonctionnelle, variables pertinentes, etc.)

alors, sous l’hypothèse nulle \(H_0\) :

Tous les instruments sont exogènes

la statistique de test \(J\) suit asymptotiquement une loi du chi-deux :

\[ J \overset{a}{\sim} \chi^2_{L-K} \]

  • les degrés de liberté sont : \(L - K\) (nombre de restrictions sur-identifiantes)
    • \(L\) : nombre d’instruments
    • \(K\) : nombre de variables endogènes

On peut donc calculer une p-value à partir de cette loi \(\chi^2_{L-K}\).

1.7 Formulation du test

  • Hypothèse nulle \(H_0\) : Tous les instruments sont valides (exogènes)
    \(E[Z'u] = 0\)

  • Hypothèse alternative \(H_1\) : Au moins un instrument est invalide
    ⟶ instruments corrélés au terme d’erreur, ou mauvaise spécification globale.

1.8 Interprétation pratique

On calcule la p-value associée à \(J\) sous la loi \(\chi^2_{L-K}\) :

  • Si la p-value est élevée (par ex. > 5 %) :
    • on ne rejette pas \(H_0\) ;
    • on ne trouve pas de preuve statistique contre la validité globale des instruments ;
    • attention : cela ne prouve pas que les instruments sont parfaits, seulement qu’on ne détecte pas de violation.
  • Si la p-value est faible (par ex. < 5 %) :
    • on rejette \(H_0\) ;
    • il est probable qu’au moins un (ou plusieurs) instrument(s) soit(ent) corrélé(s) au terme d’erreur ;
    • cela peut aussi refléter une mauvaise spécification du modèle (variables omises, non-linéarités, etc.).

Important : le test ne dit pas quel instrument est problématique. Il teste seulement la validité conjointe de tous les instruments.

1.9 Sargan vs Hansen (J-test robuste)

Le test de Sargan repose sur l’hypothèse d’homoscédasticité.
En présence d’hétéroscédasticité, la loi de \(J = nR^2\) n’est plus une bonne approximation.

Dans le cadre plus général du GMM (Generalized Method of Moments), on peut construire un test de sur-identification robuste à l’hétéroscédasticité :

  • Test de Hansen J (ou Sargan–Hansen) :
    • même hypothèse nulle : validité globale des instruments ;
    • même loi asymptotique : \(\chi^2_{L-K}\) ;
    • mais la statistique est calculée à partir d’une matrice de pondération robuste (type “sandwich”).

En pratique :

  • Sargan : adapté si l’on suppose l’homoscédasticité.
  • Hansen J : à privilégier lorsque l’on utilise des estimateurs GMM ou des variances robustes.

1.10 Exemple stylisé : 1 endogène, 2 instruments

Considérons le modèle :

\[ y_i = \beta x_i + \gamma' w_i + u_i \]

  • \(x_i\) est endogène
  • \(w_i\) est exogène et inclus dans le modèle
  • on dispose de deux instruments \(z_{1i}, z_{2i}\) pour \(x_i\)

On a :

  • \(K = 1\) (une variable endogène à instrumenter)
  • \(L = 2\) (deux instruments)

⟶ Le modèle est sur-identifié avec \(L - K = 1\) restriction sur-identifiante.

Étapes :

  1. Estimer le modèle par 2SLS en utilisant \(z_{1i}, z_{2i}\) (et \(w_i\)) comme instruments.
  2. Récupérer les résidus \(\hat{u}_i\).
  3. Régresser \(\hat{u}_i\) sur \(z_{1i}, z_{2i}\) (et \(w_i\)), récupérer le \(R^2\).
  4. Calculer \(J = nR^2\) et comparer à la loi \(\chi^2\) à 1 ddl.

2 Questions TDs

1- Appliquez le test d’exogénéité de Nakamura et Nakamura en utilisant trois ensembles d’instruments :

i)-        motheduc  (éducation de la mère)

ii)-       motheduc et fatheduc  (éducation du père)

iii)-       motheduc, fatheduc et huseduc  (éducation du mari)

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Comme le TD, d’abord appliquer le 2SLS dans Eviews, puis réaliser le test nakamura nakamura dans les IV tests. Dans quels cas le test est intéressant?

2- Si cela vous semble pertinent, appliquez les doubles moindres carrés (DMC) en utilisant les trois ensembles d’instruments.

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Se baser sur le test de nakamura!!!

3- Appliquez, lorsque cela est possible, le test de sur-identification de Sargan.

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Si le test de Nakamura a révélé un DMC dans lequel il y avait plus de un instrument, appliquer le test de suridentification.

4- Réalisez un test de White sur les estimations DMC et appliquez, si besoin est, la procédure de correction de White. Qu’en concluez- vous ?

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Vous savez faire les tests, pour la correction, allez fouiller dans les options des estimations AVANT de lancer l’estimation.