Économétrie — TD 4

Les tests d’hypothèses économétriques

Author

Pierre Beaucoral

1 Introduction

Ce document reprend les slides du TD 4 sous forme cours, avec des explications supplémentaires pour guider la lecture et la pratique sous EViews. L’objectif est de comprendre pourquoi on applique ces tests, comment les mettre en œuvre, et comment interpréter les résultats.

Note

À retenir. Les tests présentés concernent les hypothèses sur les erreurs du modèle MCO. Ils ne modifient pas la structure du modèle mais la validation des inférences que l’on effectue (significativité, intervalles de confiance).

2 Rappel : hypothèses MCO et propriétés

2.1 Les hypothèses des estimations MCO

  • L’estimateur des moindres carrés ordinaires (MCO) est le BLUE (Best Linear Unbiased Estimator) si certaines hypothèses sont respectées.

  • Ces hypothèses portent sur le terme d’erreur \(\varepsilon\) :

    1. Normalité : \(\varepsilon \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2_\varepsilon)\)
    2. Espérance nulle : \(\mathbb{E}[\varepsilon_i] = 0\)
    3. Homoscédasticité : \(\mathrm{Var}(\varepsilon_i) = \sigma^2\) (constante)
    4. Indépendance sérielle : \(\mathrm{Cov}(\varepsilon_i,\varepsilon_j)=0  \forall i\neq j\)
    5. Orthogonalité : \(\mathrm{Cov}(x_i,\varepsilon_i)=0\) (exogénéité)
Caution

Sensibilité. L’estimateur MCO est sensible aux observations extrêmes : soyez vigilants aux valeurs aberrantes et aux leviers.

2.2 Propriétés des estimateurs (rappels sémantiques)

  • Petit échantillon
    • Sans biais : \(\mathbb{E}[\hat\beta] = \beta\)
    • Variance minimale : \(\mathrm{Var}(\hat\beta) \le \mathrm{Var}(\tilde\beta)\)
    • Efficace : sans biais et à variance minimale
  • Grand échantillon
    • Convergent : \(\mathrm{Var}(\hat\beta) \to 0\) lorsque \(N \to \infty\)

2.3 Hypothèses, problèmes et corrections

Propriété / Hypothèse Problème si non respectée Test(s) associé(s) Méthode(s) de correction
Absence de biais (orthogonalité) Biais ; non‑convergence — Instrumentation (variables instrumentales)
Efficience (sphéricité des erreurs) Estimation non efficace (mais pas de biais) Homoscédasticité : Breusch–Pagan, White ; Indépendance sérielle: Durbin–Watson, Breusch–Godfrey Erreurs standards White (robustes) ; HAC (Newey–West)
Important

Focus du TD. Nous traitons surtout les hypothèses d’efficience (3 et 4) : homoscédasticité et indépendance sérielle.

3 Les tests d’hypothèses : principe

  • Objectif : vérifier que le modèle est économétriquement correct au sens des hypothèses MCO (afin d’interpréter correctement t, F, IC…).

  • Démarche : on applique des tests sur les résidus et on adapte les erreurs standards (ou le modèle) si nécessaire.

Hypothèse Test(s) associé(s) Traité ?
H1 : Normalité Bera–Jarque ✓
H3 : Homoscédasticité Goldfeld–Quandt ✓
Breusch–Pagan ✓
White ✓
H4 : Indépendance sérielle Durbin–Watson ✓
Breusch–Godfrey ✓

4 Normalité des erreurs : test de Bera–Jarque

4.1 Intuition et indicateurs

  • La normalité facilite certains tests de sphéricité.
  • Bera–Jarque (BJ) combine :
    • Skewness (η) : asymétrie (η = 0 sous normalité)
    • Kurtosis (υ) : aplatissement (υ = 3 sous normalité)

4.2 Statistique, hypothèses, décision

  • Statistique : \(BJ = N \left[ \frac{\eta^2}{6} + \frac{(\upsilon-3)^2}{24} \right]\)
    Sous \(H_0\), \(BJ\) suit approximativement une \(\chi^2\).

  • Hypothèses :

    • \(H_0 :\) normalité \(BJ ≈ 0\)
    • \(H_1 :\) non‑normalité \(BJ ≠ 0\)

  • Règle (5 %) : si \(BJ > \chi^2_{2;0{,}95} \approx 6\) ⇒ rejeter \(H_0\).

4.3 Mise en œuvre dans EViews

  1. Ouvrir la fenêtre de l’équation.
  2. View → Residual Diagnostic → Histogram – Normality Test.
  3. Lire BJ, p‑value, skewness et kurtosis ; conclure.
Tip

Lecture : une p‑value faible (≤ 5 %) → rejet de la normalité. On peut poursuivre les tests d’hétéroscédasticité / autocorrélation même si la normalité est discutée.

5 Homoscédasticité (variance constante)

  • L’homoscédasticité : \(\mathrm{Var}(\varepsilon_i) = \sigma^2\) constante.
  • L’hétéroscédasticité survient souvent quand la dispersion des erreurs croît avec le niveau d’une variable explicative (ou de la variable expliquée).
Important

Si l’hypothèse est violée, les MCO restent sans biais, mais ne sont plus efficients → erreurs standards faussées (t, F, IC non fiables).

5.1 Test de Breusch–Pagan (BP)

  • Idée : la variance des erreurs dépend des variables explicatives.

  • Modèle estimé : \(Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \beta_2 Z_i + \varepsilon_i\) et \(\hat\varepsilon_i = Y_i - \hat\beta_0 - \hat\beta_1 X_i - \hat\beta_2 Z_i\) .

  • Hypothèses :

    • \(H_0 : \mathrm{Var}(\hat\varepsilon_i) = \sigma^2\) (indépendante de X, Z)
    • \(H_1 : \mathrm{Var}(\hat\varepsilon_i) = \theta_0 + \theta_1 X_i + \theta_2 Z_i + \omega_i\)

  • Procédure :

    1. Estimer le modèle MCO ; calculer \(\hat\varepsilon_i^2\).
    2. Régression de test : \(\hat\varepsilon_i^2 = \theta_0 + \theta_1 X_i + \theta_2 Z_i + \omega_i\).
    3. \(BP = N × R²\) de l’équation de test → \(χ²(K − 1)\) ;
      si \(BP ≥ χ²_th\), rejeter \(H₀\).
Note

Intuition : sous homoscédasticité, R² → 0 dans l’équation auxiliaire : X et Z n’expliquent pas la variance des résidus.

5.2 Test de White

  • Même logique que BP mais plus flexible (termes au carré et produits croisés).
  • Hypothèses :
    • \(H_0 : \mathrm{Var}(\hat\varepsilon_i) = \sigma^2\)
    • \(H_1 : \mathrm{Var}(\hat\varepsilon_i) = \theta_0 + \theta_1 X_i + \theta_2 Z_i + \theta_3 X_i^2 + \theta_4 X_i Z_i + \theta_5 Z_i^2 + \omega_i\)
  • Statistiques :
    • \(W = N × R² → χ²(K − 1)\) (K = nb de paramètres de l’équation auxiliaire)
    • Variante petits échantillons (F‑test) : \(W = \left(\frac{SCR_r - SCR_{nr}}{SCR_r}\right)\frac{N-k}{k-1} \to F(k-1, N-k)\)

5.3 Mise en œuvre dans EViews

  • View → Residual Diagnostic → Heteroskedasticity Tests
    • Breusch–Pagan–Godfrey (BP)
    • White

6 Indépendance sérielle (autocorrélation)

  • Absence d’autocorrélation : Cov(εₜ, εₛ) = 0 pour t ≠ s.
  • Problème classique en séries temporelles ; fausse les erreurs standards.

6.1 Test de Durbin–Watson (DW)

  • Conditions : constante incluse ; \(n > 15\) ; pas de variable dépendante retardée ; pas de données manquantes ; processus AR(1) uniquement.
  • Statistique : \(DW = \frac{\sum_{t=2}^T (\hat\varepsilon_t - \hat\varepsilon_{t-1})^2}{\sum_{t=1}^T \hat\varepsilon_t^2} \approx 2(1-\hat\rho)\)
  • Lecture via bornes D_L et D_U (zones : rejet H₀, incertitude, acceptation).
Caution

Limites DW : zone d’incertitude, conditions restrictives → préférer souvent Breusch–Godfrey quand les conditions DW ne sont pas réunies.

6.2 Test de Breusch–Godfrey (BG)

  • Plus flexible (AR(p) avec \(p ≥ 1\)).
  • Équation de test (ex. AR(2)) : \(\hat\varepsilon_t = \rho1 \hat\varepsilon{t-1} + \rho2 \hat\varepsilon{t-2} + \theta_1 X_t + \theta_2 Z_t + \omega_t\)
  • Statistique : \(BG = T × R² → χ²(p)\) ; rejeter \(H₀\) si \(BG ≥ χ²_th\).
  • EViews : View → Residual Diagnostic → Serial correlation LM test (choisir les lags).

7 Corriger pour des inférences valides

  • Si hétéroscédasticité : erreurs standards White (robustes).
  • Si autocorrélation (et/ou hétéroscédasticité) : erreurs standards HAC (Newey–West).
  • Si l’autocorrélation est structurelle : envisager une modélisation explicite (par ex. Cochrane–Orcutt, AR(1) sur l’erreur) plutôt que de corriger seulement les erreurs standards.
Tip

Effet des corrections. Les coefficients MCO restent en général inchangés ; ce sont les écarts‑types (et donc t, p‑values, IC) qui sont ajustés.

8 Questions – Réponses (TD4)

8.1 Importez le fichier de travail sur les compagnies aériennes.

8.2 Estimez l’équation suivante par les MCO :

\(log(Pass_i) =\beta_0 + \beta_1 Fatal_Passagers_i + \beta_2 NonFatal_Passagers_i + \beta_3 Low_cost_i \ + \beta_4 Public_i + \beta_5 Inter_i + \beta_6 Age_i + \beta_7 Trafic_nat_i + \beta_8 Trafic_dest_i +\varepsilon_i\)

8.3 Homoscédasticité

· Qu’est-ce que l’homoscédasticité et quel problème induit son non-respect pour les MCO ?

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Homoscédasticité = la variance de l’erreur est constante pour toutes les valeurs des régressseurs :

\(\mathrm{Var}(u_i\mid X)=\sigma^2\) pour tout \(i\).

Si cette hypothèse est violée (hétéroscédasticité) :

  • Les estimateurs MCO \(\hat\beta\)​ restent sans biais et consistants si \(E[u\mid X]=0\) tient, mais ils ne sont plus efficaces (plus BLUE) : il existe de meilleurs estimateurs (GLS/WLS).

  • Les écarts-types MCO “classiques” sont faussés ⇒ tests t/F et IC peuvent être trompeurs (trop optimistes ou trop prudents).

  • Conséquence pratique majeure : mauvaise inférence.

Que faire ?

  • Utiliser des erreurs-types robustes à l’hétéroscédasticité (HC0–HC3/“White”).

8.4 Homoscédasticité

· A l’aide des tests de Goldfeld et Quandt, de Breusch-Pagan-Koenker et de White, que peut-on conclure quant à l’homoscédasticité du terme d’erreurs ?

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8.5 Correction(s)

· En fonction des résultats des divers tests, proposez une correction le cas échéant.

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8.6 Correction(s)

· Vos conclusions quant à l’effet des accidents mortels et non mortels sont-elles modifiées ?

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