Année universitaire 2025–2026 • Parcours Économie de la santé & Développement durable
Pierre Beaucoral
SUBTYPE).GRADE).Données : cancer.dta (288 femmes avec cancer de l’endomètre).
Un modèle de régression multinomiale est un modèle Logit ou Probit dans lequel la variable à expliquer \(Y\) est une variable qualitative à \(k > 2\) modalités. Cette variable peut être qualitative nominale ou ordinale.
Dans le cas d’une variable expliquée nominale, on prend n’importe quelle modalité comme modalité de référence (modalité 0), et on estime des pseudo-côtes, c’est-à-dire :
Par exemple, dans le cas \(k = 3\) modalités de \(Y\), on a :
\(\Pr(Y = 0) + \Pr(Y = 1) + \Pr(Y = 2) = 1\)
MAIS \(\Pr(Y = 0) + \Pr(Y = 1) < 1\) et \(\Pr(Y = 0) + \Pr(Y = 2) < 1\)
On estime alors les paramètres \(\beta_g\) tels que :
\[ \ln \left(\frac{\Pr(Y = g)}{\Pr(Y = 0)}\right) = \beta_{g0} + \sum_{j=1}^{p} \beta_{gj} X_j \]
avec \(g = 1, \dots, k-1\).
On estime donc :
Dans le cas d’une variable expliquée ordinale, \(Y = 0\) ou \(1\) ou \(2\), etc. représente une réponse graduée.
La résolution suppose l’existence d’une variable continue sous-jacente \(Y^*\), et de \((k - 1)\) bornes \(c_j\) telles que :
On a :
\[ y_i^* = X_i B + \varepsilon_i \]
et on estime conjointement :
On prédit alors l’appartenance de chaque individu à chaque classe par les formules :
\[\Pr(Y_i = 0) = \Phi(c_1 - X_i B)\]
\[\Pr(Y_i = g) = \Phi(c_g - X_i B) - \Phi(c_{g-1} - X_i B)\]
où \(\Phi\) est :
Les données étudiées proviennent de Hill et al. (1995) et sont utilisées comme exemple dans l’ouvrage de Kleinbaum et Klein.
On suppose que le fichier cancer.dta se trouve dans le dossier ./data/.
Rows: 288
Columns: 7
$ id <dbl> 10009, 10025, 10038, 10042, 10049, 10113, 10131, 10160, 10164…
$ grade <dbl+lbl> 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 1, 2, 2, …
$ race <dbl+lbl> 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, …
$ estrogen <dbl+lbl> 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, …
$ subtype <dbl+lbl> 1, 2, 1, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 2, 0, 0, …
$ age <dbl+lbl> 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, …
$ smoking <dbl+lbl> 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, …On dispose notamment des variables :
grade (3 modalités ordonnées),race,estrogen,subtype,age,smoking.On crée des facteurs explicites pour la régression, en choisissant des références cohérentes avec l’énoncé :
cancer <- cancer_raw |>
mutate(
# convertir les labels Stata en facteurs R
grade_f = as_factor(grade),
subtype_f = as_factor(subtype),
race_f = as_factor(race),
estrogen_f = as_factor(estrogen),
age_f = as_factor(age),
smk_f = as_factor(smoking),
# forcer l'ordre pour l'ordinal (adapter les noms à ce que tu vois)
grade_ord = fct_relevel(
grade_f,
"bien différencié",
"moyennement différencié",
"peu différencié"
)
)
cancer |>
dplyr::select(grade, grade_ord, subtype, subtype_f,
race_f, estrogen_f, age_f, smk_f) |>
head()# A tibble: 6 × 8
grade grade_ord subtype subtype_f race_f estrogen_f age_f smk_f
<dbl+lbl> <fct> <dbl+l> <fct> <fct> <fct> <fct> <fct>
1 1 [moyennement diff… moyennem… 1 [ade… adenosqu… blanc… never too… 50-64 yes
2 0 [bien différencié] bien dif… 2 [oth… other blanc… took oest… 50-64 no
3 1 [moyennement diff… moyennem… 1 [ade… adenosqu… blanc… never too… 65-79 no
4 0 [bien différencié] bien dif… 0 [ade… adenocar… blanc… never too… 65-79 no
5 0 [bien différencié] bien dif… 0 [ade… adenocar… blanc… took oest… 50-64 no
6 0 [bien différencié] bien dif… 0 [ade… adenocar… blanc… took oest… 65-79 no Variables explicatives : RACE, ESTROGEN, SMK, AGE.
# weights: 18 (10 variable)
initial value 314.203115
iter 10 value 247.216796
final value 246.965190
converged# A tibble: 10 × 8
y.level term estimate std.error statistic p.value conf.low conf.high
<chr> <chr> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl>
1 adenosquamous (Inter… 0.169 0.447 -3.97 7.18e-5 0.0705 0.407
2 adenosquamous race_f… 0.806 0.413 -0.521 6.02e-1 0.359 1.81
3 adenosquamous estrog… 0.483 0.378 -1.93 5.39e-2 0.230 1.01
4 adenosquamous smk_fy… 2.43 0.526 1.69 9.06e-2 0.869 6.82
5 adenosquamous age_f6… 2.66 0.412 2.38 1.75e-2 1.19 5.96
6 other (Inter… 0.282 0.378 -3.35 8.07e-4 0.134 0.591
7 other race_f… 1.13 0.376 0.319 7.49e-1 0.539 2.36
8 other estrog… 0.943 0.343 -0.171 8.64e-1 0.482 1.85
9 other smk_fy… 0.166 1.05 -1.71 8.67e-2 0.0214 1.29
10 other age_f6… 1.33 0.329 0.872 3.83e-1 0.699 2.54 Call:
multinom(formula = subtype_f ~ race_f + estrogen_f + smk_f +
age_f, data = cancer)
Coefficients:
(Intercept) race_fnoire estrogen_ftook oestrogen treatment
adenosquamous -1.775326 -0.2151038 -0.72813726
other -1.266281 0.1201888 -0.05867755
smk_fyes age_f65-79
adenosquamous 0.889793 0.9780758
other -1.793171 0.2865677
Std. Errors:
(Intercept) race_fnoire estrogen_ftook oestrogen treatment
adenosquamous 0.4471631 0.4127306 0.3777940
other 0.3779403 0.3762200 0.3425219
smk_fyes age_f65-79
adenosquamous 0.5257988 0.4117731
other 1.0467384 0.3285697
Residual Deviance: 493.9304
AIC: 513.9304 On obtient, pour chaque modalité \(g\) \(\neq\) référence, une équation :
\(\log \frac{P(\text{SUBTYPE}=g)}{P(\text{SUBTYPE}=\text{adenocarcinomous})} = \beta{g0} + \beta{g,\text{race}} + \dots\)
À caractéristiques identiques (race, oestrogènes, âge), les fumeuses ont environ 2,4 fois plus de chances (odds) d’avoir un cancer adenosquamous plutôt que le sous-type de référence, comparées aux non fumeuses.
# A tibble: 10 × 8
y.level term estimate std.error statistic p.value conf.low conf.high
<chr> <chr> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl>
1 adenosquamous (Inter… 0.169 0.447 -3.97 7.18e-5 0.0705 0.407
2 adenosquamous race_f… 0.806 0.413 -0.521 6.02e-1 0.359 1.81
3 adenosquamous estrog… 0.483 0.378 -1.93 5.39e-2 0.230 1.01
4 adenosquamous smk_fy… 2.43 0.526 1.69 9.06e-2 0.869 6.82
5 adenosquamous age_f6… 2.66 0.412 2.38 1.75e-2 1.19 5.96
6 other (Inter… 0.282 0.378 -3.35 8.07e-4 0.134 0.591
7 other race_f… 1.13 0.376 0.319 7.49e-1 0.539 2.36
8 other estrog… 0.943 0.343 -0.171 8.64e-1 0.482 1.85
9 other smk_fy… 0.166 1.05 -1.71 8.67e-2 0.0214 1.29
10 other age_f6… 1.33 0.329 0.872 3.83e-1 0.699 2.54 Ici, estimate = odds-ratio, conf.low / conf.high = IC 95 %.
On génère les probabilités prédites pour chaque modalité de SUBTYPE :
adenocarcinomous adenosquamous other
1 0.6852096 0.2826449 0.03214548
2 0.7420517 0.0607007 0.19724761
3 0.5476498 0.2467524 0.20559787
4 0.5476498 0.2467524 0.20559787
5 0.7420517 0.0607007 0.19724761
6 0.6363103 0.1384208 0.22526893adenocarcinomous adenosquamous other
0.6433555 0.1573435 0.1993010 On recolle ces probabilités aux données :
# weights: 18 (10 variable)
initial value 314.203115
iter 10 value 247.216796
final value 246.965190
convergedadenocarcinomous adenosquamous other
0.6433555 0.1573435 0.1993010 # 4) On transforme en tibble et on renomme
phat_sub_tbl <- as_tibble(phat_sub)
names(phat_sub_tbl) <- paste0("p_", levels(cancer_complete$subtype_f))
# ex : "p_adenocarcinomous" "p_adenosquamous" "p_other"
# 5) On colle aux données *complètes* (286 lignes)
cancer_sub <- bind_cols(cancer_complete, phat_sub_tbl)
cancer_sub |>
dplyr::select(subtype_f, starts_with("p_")) |>
slice(1:5)# A tibble: 5 × 4
subtype_f p_adenocarcinomous p_adenosquamous p_other
<fct> <dbl> <dbl> <dbl>
1 adenosquamous 0.685 0.283 0.0321
2 other 0.742 0.0607 0.197
3 adenosquamous 0.548 0.247 0.206
4 adenocarcinomous 0.548 0.247 0.206
5 adenocarcinomous 0.742 0.0607 0.197 On utilise logitgof() du package generalhoslem.
obs : modalités de SUBTYPE sous forme numérique (1, 2, 3).exp : matrice de probabilités prédites.g : nombre de groupes (à ajuster si nécessaire).
Hosmer and Lemeshow test (multinomial model)
data: y_num, exp_mat
X-squared = 4.0727, df = 10, p-value = 0.944Le test de Hosmer–Lemeshow (généralisé au multinomial et implémenté par
logitgof()dansgeneralhoslem) compare, dans des groupes de probabilités prédites similaires, les effectifs observés de chaque catégorie de la variable dépendante aux effectifs attendus selon le modèle. La statistique de test est de type χ². Une grande p-value indique que l’on ne détecte pas de mauvais ajustement global du modèle aux données ; une petite p-value suggère un manque d’adéquation (modèle mal calibré).
Si le test ne passe pas (classes attendues trop petites), on réduit le nombre de groupes :
# A tibble: 7 × 3
g stat p_value
<int> <dbl> <dbl>
1 4 1.69 0.792
2 5 2.01 0.735
3 6 15.7 0.0474
4 7 2.63 0.955
5 8 2.63 0.955
6 9 16.5 0.170
7 10 4.07 0.944 Lecture :
En diminuant le nombre de groupes, le test Hosmer–Lemeshow devient applicable. Les p-values varient avec g, ce qui montre que le test est assez instable dans ce petit échantillon multinomial. Néanmoins, pour la plupart des partitions (g = 4, 5, 7, 8, 9, 10), on ne rejette pas l’hypothèse d’un bon ajustement (p-value > 5 %). On peut donc conclure qu’il n’y a pas de signe clair de mauvais ajustement du modèle aux données, tout en rappelant que ce test doit être interprété avec prudence.
On cherche un modèle plus parcimonieux en retirant les variables non significatives.
Exemple : on teste si on peut retirer smk_f puis age_f
# weights: 15 (8 variable)
initial value 314.203115
iter 10 value 251.550761
final value 251.468001
convergedLikelihood ratio tests of Multinomial Models
Response: subtype_f
Model Resid. df Resid. Dev Test Df
1 race_f + estrogen_f + age_f 564 502.9360
2 race_f + estrogen_f + smk_f + age_f 562 493.9304 1 vs 2 2
LR stat. Pr(Chi)
1
2 9.005622 0.01107781Test 1 : peut-on retirer smk_f ?
Modèles comparés :
Modèle réduit : subtype_f ~ race_f + estrogen_f + age_f
Modèle complet : subtype_f ~ race_f + estrogen_f + smk_f + age_f
Résultat du test LR :
smk_f” : le tabagisme (smk_f) apporte une information significative pour expliquer le sous-type de cancer → on garde smk_f.# weights: 15 (8 variable)
initial value 314.203115
iter 10 value 250.492692
final value 250.192192
convergedLikelihood ratio tests of Multinomial Models
Response: subtype_f
Model Resid. df Resid. Dev Test Df
1 race_f + estrogen_f + smk_f 564 500.3844
2 race_f + estrogen_f + smk_f + age_f 562 493.9304 1 vs 2 2
LR stat. Pr(Chi)
1
2 6.454004 0.03967628Interprétation :
smk_f mais pas ageLes degrés de liberté du test de rapport de vraisemblance sont égaux au nombre de paramètres supprimés entre le modèle complet et le modèle réduit.
Dans un modèle multinomial, retirer une variable facteur à \(L\) modalités enlève \((J-1)(L-1)\) coefficients, donc \((J-1)(L-1)\) degrés de liberté. \(J\) catégories et \(L\) modalités.
On teste sur les deux variables restantes
# weights: 15 (8 variable)
initial value 314.203115
iter 10 value 247.380882
final value 247.202541
convergedLikelihood ratio tests of Multinomial Models
Response: subtype_f
Model Resid. df Resid. Dev Test Df
1 age_f + estrogen_f + smk_f 564 494.4051
2 race_f + estrogen_f + smk_f + age_f 562 493.9304 1 vs 2 2
LR stat. Pr(Chi)
1
2 0.4747033 0.7887139On retire la variable estrogen pour expliquer SUBTYPE :
# 1) Construire un sous-échantillon complet pour toutes les variables en jeu
cancer_lr <- cancer |>
filter(
!is.na(subtype_f),
!is.na(age_f),
!is.na(race_f),
!is.na(smk_f),
!is.na(estrogen_f) # même si tu ne l'utilises pas dans tous les modèles
)
# 2) Re-estimer les modèles sur CE MÊME jeu de données
mod_sub_full <- multinom(
subtype_f ~ age_f + race_f + smk_f + estrogen_f,
data = cancer_lr
)# weights: 18 (10 variable)
initial value 314.203115
iter 10 value 247.216796
final value 246.965190
converged# weights: 15 (8 variable)
initial value 314.203115
iter 10 value 249.150731
final value 248.865000
convergedLikelihood ratio tests of Multinomial Models
Response: subtype_f
Model Resid. df Resid. Dev Test Df
1 age_f + race_f + smk_f 564 497.7300
2 age_f + race_f + smk_f + estrogen_f 562 493.9304 1 vs 2 2
LR stat. Pr(Chi)
1
2 3.799621 0.1495969La fonction se base uniquement sur les résultats passés (modèles déjà estimés)
et sélectionne celui qui minimise l’AIC (ou le BIC).
# weights: 12 (6 variable)
initial value 316.400339
iter 10 value 250.030104
final value 250.024195
converged# A tibble: 6 × 8
y.level term estimate std.error statistic p.value conf.low conf.high
<chr> <chr> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl>
1 adenosquamous (Interc… 0.111 0.374 -5.88 4.16e-9 0.0535 0.231
2 adenosquamous age_f65… 2.67 0.409 2.40 1.63e-2 1.20 5.95
3 adenosquamous smk_fyes 2.36 0.520 1.65 9.83e-2 0.853 6.54
4 other (Interc… 0.283 0.271 -4.66 3.10e-6 0.166 0.481
5 other age_f65… 1.30 0.328 0.812 4.17e-1 0.686 2.48
6 other smk_fyes 0.167 1.05 -1.71 8.69e-2 0.0214 1.30 Principe d’interprétation :
adenocarcinomous), toutes choses égales par ailleurs.# A tibble: 3 × 2
subtype_f n
<fct> <int>
1 adenocarcinomous 184
2 adenosquamous 45
3 other 57On attribue à chaque individu la classe prédite correspondant à la probabilité la plus élevée :
adenocarcinomous adenosquamous other
0.6458337 0.1562522 0.1979141 phat_sub_tbl <- as_tibble(phat_sub)
names(phat_sub_tbl) <- paste0("p_", levels(cancer_complete$subtype_f))
# ex : "p_adenocarcinomous" "p_adenosquamous" "p_other"
cancer <- bind_cols(cancer, phat_sub_tbl)
# vecteur des probas sous forme de matrice
probs_mat <- as.matrix(
cancer[, c("p_adenocarcinomous", "p_adenosquamous", "p_other")]
)
# indices de la proba max par individu (1, 2 ou 3)
idx_max <- max.col(probs_mat)
# noms des modalités dans le bon ordre
lev <- c("adenocarcinomous", "adenosquamous", "other")
cancer <- cancer |>
mutate(
pred_subtype = factor(lev[idx_max],
levels = levels(subtype_f))
)
cancer |>
dplyr::select(subtype_f, pred_subtype, starts_with("p_")) |>
slice(1:5)# A tibble: 5 × 5
subtype_f pred_subtype p_adenocarcinomous p_adenosquamous p_other
<fct> <fct> <dbl> <dbl> <dbl>
1 adenosquamous adenocarcinomous 0.763 0.201 0.0360
2 other adenocarcinomous 0.717 0.0798 0.203
3 adenosquamous adenocarcinomous 0.600 0.178 0.221
4 adenocarcinomous adenocarcinomous 0.600 0.178 0.221
5 adenocarcinomous adenocarcinomous 0.717 0.0798 0.203 Predicted
Observed adenocarcinomous adenosquamous other
adenocarcinomous 186 0 0
adenosquamous 45 0 0
other 57 0 0[1] 0.3541667On modélise le stade de la tumeur (bien / moyennement / peu différenciée) en fonction de :
RACE, ESTROGEN, SUBTYPE, AGE, SMK.On utilise polr() (MASS) avec grade_ord comme variable ordinale.
Call:
polr(formula = grade_ord ~ race_f + estrogen_f + subtype_f +
age_f + smk_f, data = cancer, Hess = TRUE)
Coefficients:
Value Std. Error t value
race_fnoire 0.59764 0.2790 2.14222
estrogen_ftook oestrogen treatment -0.61411 0.2549 -2.40904
subtype_fadenosquamous 1.78110 0.3252 5.47653
subtype_fother 0.07823 0.2991 0.26153
age_f65-79 0.13110 0.2486 0.52742
smk_fyes 0.01358 0.3992 0.03401
Intercepts:
Value Std. Error t value
bien différencié|moyennement différencié -0.0205 0.2890 -0.0708
moyennement différencié|peu différencié 1.9682 0.3196 6.1589
Residual Deviance: 540.4501
AIC: 556.4501
(2 observations deleted due to missingness)Les sorties donnent :
GRADE.On ajoute l’interaction estrogen_f * subtype_f :
Likelihood ratio tests of ordinal regression models
Response: grade_ord
Model Resid. df Resid. Dev Test
1 race_f + estrogen_f + subtype_f + age_f + smk_f 278 540.4501
2 race_f + estrogen_f * subtype_f + age_f + smk_f 276 537.5181 1 vs 2
Df LR stat. Pr(Chi)
1
2 2 2.932012 0.2308457anova() réalise un test LR entre modèle sans interaction (mod_grade_base) et modèle avec interaction (mod_grade_es).On peut tester d’autres interactions pertinentes, par exemple :
ESTROGEN × AGE :Likelihood ratio tests of ordinal regression models
Response: grade_ord
Model Resid. df Resid. Dev Test
1 race_f + estrogen_f + subtype_f + age_f + smk_f 278 540.4501
2 race_f + estrogen_f * age_f + subtype_f + smk_f 277 539.2085 1 vs 2
Df LR stat. Pr(Chi)
1
2 1 1.241621 0.2651588SUBTYPE × AGE :Likelihood ratio tests of ordinal regression models
Response: grade_ord
Model Resid. df Resid. Dev Test
1 race_f + estrogen_f + subtype_f + age_f + smk_f 278 540.4501
2 race_f + estrogen_f + subtype_f * age_f + smk_f 276 538.9157 1 vs 2
Df LR stat. Pr(Chi)
1
2 2 1.534397 0.4643119Pour chaque interaction :
Call:
polr(formula = grade_ord ~ race_f + estrogen_f + subtype_f +
age_f + smk_f, data = cancer, Hess = TRUE)
Coefficients:
Value Std. Error t value
race_fnoire 0.59764 0.2790 2.14222
estrogen_ftook oestrogen treatment -0.61411 0.2549 -2.40904
subtype_fadenosquamous 1.78110 0.3252 5.47653
subtype_fother 0.07823 0.2991 0.26153
age_f65-79 0.13110 0.2486 0.52742
smk_fyes 0.01358 0.3992 0.03401
Intercepts:
Value Std. Error t value
bien différencié|moyennement différencié -0.0205 0.2890 -0.0708
moyennement différencié|peu différencié 1.9682 0.3196 6.1589
Residual Deviance: 540.4501
AIC: 556.4501
(2 observations deleted due to missingness)Race (noire vs non noire)
Coefficient = 0,60 (t ≈ 2,14) → significatif.
Les femmes noires ont des cotes ≈ 1,8 fois plus élevées d’avoir un grade plus mauvais (passer vers “moyennement/peu différencié”), toutes choses égales par ailleurs.
Traitement aux œstrogènes (oui vs non)
Coefficient = −0,61 (t ≈ −2,41) → significatif.
Les femmes ayant reçu un traitement œstrogénique ont des cotes ≈ divisées par 2 d’avoir un grade plus mauvais. → Le traitement est associé à des grades un peu meilleurs.
Sous-type tumoral (réf. = adenocarcinomous)
adenosquamous : coef = 1,78 (t ≈ 5,48) → très significatif.
→ Cotes ≈ 6 fois plus élevées d’avoir un grade plus défavorable que l’adenocarcinome.
other : effet faible et non significatif.
Âge (65–79 ans) et tabagisme (smk_fyes)
SUBTYPE ;GRADE.À retenir :
---
title: "TD 3 — Régression multinomiale (R)"
subtitle: "Année universitaire 2025–2026 • Parcours Économie de la santé & Développement durable"
description: "Modèles logit multinomiaux (nominal et ordinal): traitement de l’exemple cancer de l’endomètre"
author: "Pierre Beaucoral"
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---
## Objectifs du TD
- Manipuler un **modèle logit multinomial nominal** (`SUBTYPE`).
- Manipuler un **modèle logit ordinal** (`GRADE`).
- Savoir :
- préparer les données (codage en facteurs / variables ordinales)
;
- estimer, simplifier et interpréter un modèle ;
- tester :
- l’ajustement (Hosmer–Lemeshow multinomial) ;
- des interactions via test de rapport de vraisemblance (LR).
Données : *cancer.dta* (288 femmes avec cancer de l’endomètre).
------------------------------------------------------------------------
## Introduction
Un **modèle de régression multinomiale** est un modèle Logit ou Probit
dans lequel la variable à expliquer $Y$ est une variable qualitative à
$k > 2$ modalités. Cette variable peut être qualitative **nominale** ou
**ordinale**.
### Cas d'une variable expliquée nominale
Dans le cas d'une variable expliquée **nominale**, on prend n'importe
quelle modalité comme modalité de référence (modalité 0), et on estime
des *pseudo-côtes*, c’est-à-dire :
- $\displaystyle \frac{\Pr(Y = 1)}{\Pr(Y = 0)}$
- $\displaystyle \frac{\Pr(Y = 2)}{\Pr(Y = 0)}$
- etc.
Par exemple, dans le cas $k = 3$ modalités de $Y$, on a :
$\Pr(Y = 0) + \Pr(Y = 1) + \Pr(Y = 2) = 1$
MAIS $\Pr(Y = 0) + \Pr(Y = 1) < 1$ et $\Pr(Y = 0) + \Pr(Y = 2) < 1$
On estime alors les paramètres $\beta_g$ tels que :
$$
\ln \left(\frac{\Pr(Y = g)}{\Pr(Y = 0)}\right)
= \beta_{g0} + \sum_{j=1}^{p} \beta_{gj} X_j
$$
avec $g = 1, \dots, k-1$.
On estime donc :
- $(k - 1)$ paramètres pour chaque variable explicative quantitative ;
- $(k - 1)(q - 1)$ paramètres pour une variable explicative
qualitative à $q$ modalités.
### Cas d'une variable expliquée ordinale
Dans le cas d'une variable expliquée **ordinale**, $Y = 0$ ou $1$ ou
$2$, etc. représente une réponse graduée.
La résolution suppose l’existence d’une variable continue sous-jacente
$Y^*$, et de $(k - 1)$ bornes $c_j$ telles que :
- si $y_i^* < c_1$ alors $y_i = 1$
- si $c_{j-1} < y_i^* < c_j$ alors $y_i = j$
- si $y_i^* > c_{k-1}$ alors $y_i = k$
On a :
$$
y_i^* = X_i B + \varepsilon_i
$$
et on estime conjointement :
- les paramètres $\beta_j$ correspondant à chaque variable explicative
;
- les seuils $c_g$ ($g = 1, \dots, k - 1$).
On prédit alors l'appartenance de chaque individu à chaque classe par
les formules :
$$\Pr(Y_i = 0) = \Phi(c_1 - X_i B)$$
$$\Pr(Y_i = g) = \Phi(c_g - X_i B) - \Phi(c_{g-1} - X_i B)$$
où $\Phi$ est :
- la fonction de répartition d'une loi gaussienne centrée réduite dans
le cas du **modèle Probit multivarié** ;
- l'inverse de la fonction Logit dans le cas du **Logit multivarié**.
## Présentation de l'étude et des données
Les données étudiées proviennent de *Hill et al.* (1995) et sont
utilisées comme exemple dans l’ouvrage de Kleinbaum et Klein.
- 288 femmes avec un cancer de l’endomètre participent à l’étude.
### Dictionnaire des variables
- **ID** : identifiant individuel.
- **GRADE** : variable ordinale indiquant le stade de la tumeur
- 0 : bien différenciée
- 1 : modérément différenciée
- 2 : peu différenciée
- **RACE** : variable indicatrice à deux modalités
- 1 : peau noire
- 0 : peau blanche
- **ESTROGEN** : variable indicatrice à deux modalités
- 1 : la femme a déjà pris des œstrogènes
- 0 : sinon
- **SUBTYPE** : variable qualitative à trois modalités codant le
sous-type de tissu cancéreux
- 0 : Adénocarcinome
- 1 : Adenosquamous
- 2 : Autre
- **AGE** : âge recodé en deux classes
- 0 : 50–64 ans
- 1 : 65–79 ans
- **SMK** : variable binaire indiquant le statut tabagique au moment
de l’étude
- 1 : fumeuse
- 0 : non-fumeuse
### Références
- Hill, H.A., Coates, R.J., Austin, H., Correa, P., Robboy, S.J.,
Chen, V., Click, L.A., Barrett, R.J., Boyce, J.G., Kotz, H.L., and
Harlan, L.C., *Racial differences in tumor grade among women with
endometrial cancer*, Gynecol. Oncol. 56: 154–163, 1995.
- David G. Kleinbaum, Mitchel Klein, *Logistic Regression – A
Self‐Learning Text*, Third Edition, Springer, 2010.
------------------------------------------------------------------------
## Packages utilisés
```{r}
#| label: setup
#| echo: true
#| message: false
#| warning: false
library(tidyverse)
library(janitor)
library(haven)
library(broom)
library(dplyr)
library(gt)
library(nnet) # multinom (logit multinomial nominal)
library(generalhoslem) # logitgof : test de Hosmer–Lemeshow multinomial
library(MASS) # polr : logit ordinal
theme_set(theme_minimal())
```
------------------------------------------------------------------------
## Import des données et préparation
On suppose que le fichier `cancer.dta` se trouve dans le dossier
`./data/`.
```{r}
#| label: import-data
#| echo: true
cancer_raw <- read_dta("./data/cancer.dta") |>
clean_names()
glimpse(cancer_raw)
```
On dispose notamment des variables :
- `grade` (3 modalités ordonnées),
- `race`,
- `estrogen`,
- `subtype`,
- `age`,
- `smoking`.
------------------------------------------------------------------------
## Recodage des variables
On crée des facteurs explicites pour la régression, en choisissant des
**références** cohérentes avec l’énoncé :
```{r}
#| label: recode-vars
cancer <- cancer_raw |>
mutate(
# convertir les labels Stata en facteurs R
grade_f = as_factor(grade),
subtype_f = as_factor(subtype),
race_f = as_factor(race),
estrogen_f = as_factor(estrogen),
age_f = as_factor(age),
smk_f = as_factor(smoking),
# forcer l'ordre pour l'ordinal (adapter les noms à ce que tu vois)
grade_ord = fct_relevel(
grade_f,
"bien différencié",
"moyennement différencié",
"peu différencié"
)
)
cancer |>
dplyr::select(grade, grade_ord, subtype, subtype_f,
race_f, estrogen_f, age_f, smk_f) |>
head()
```
------------------------------------------------------------------------
## Modèle multinomial pour expliquer SUBTYPE
Variables explicatives : `RACE`, `ESTROGEN`, `SMK`, `AGE`.
------------------------------------------------------------------------
### Estimation du premier modèle (logit multinomial nominal)
```{r}
#| label: mod-subtype-full
mod_sub_full <- multinom(
subtype_f ~ race_f + estrogen_f + smk_f + age_f,
data = cancer
)
res_sub_ful <- tidy(mod_sub_full,
exponentiate = TRUE, # passe en OR
conf.int = TRUE) # ajoute IC 95%
res_sub_ful
```
------------------------------------------------------------------------
```{r}
summary(mod_sub_full)
```
On obtient, pour chaque modalité $g$ $\neq$ référence, une équation :
$\log \frac{P(\text{SUBTYPE}=g)}{P(\text{SUBTYPE}=\text{adenocarcinomous})} = \beta{g0} + \beta{g,\text{race}} + \dots$
> À caractéristiques identiques (race, oestrogènes, âge), les
> **fumeuses** ont environ **2,4 fois plus de chances (odds)** d’avoir
> un cancer *adenosquamous* plutôt que le sous-type de référence,
> comparées aux **non fumeuses**.
------------------------------------------------------------------------
### Résumé et odds-ratios
```{r}
#| label: tidy-subtype-full
res_sub_full <- tidy(mod_sub_full, exponentiate = TRUE, conf.int = TRUE)
res_sub_full
```
Ici, `estimate` = **odds-ratio**, `conf.low` / `conf.high` = IC 95 %.
------------------------------------------------------------------------
### Probabilités prédites
On génère les probabilités prédites pour chaque modalité de `SUBTYPE` :
```{r}
#| label: predict-subtype-probs
phat_sub <- predict(mod_sub_full, type = "probs")
head(phat_sub)
colMeans(phat_sub) # moyennes des proba par modalité
```
------------------------------------------------------------------------
On recolle ces probabilités aux données :
```{r}
#| label: bind-preds
# 1) Sous-échantillon sans NA sur les variables du modèle
cancer_complete <- cancer |>
drop_na(subtype_f, race_f, estrogen_f, smk_f, age_f)
# 2) Modèle multinomial sur cancer_complete
mod_sub_full <- multinom(
subtype_f ~ race_f + estrogen_f + smk_f + age_f,
data = cancer_complete
)
```
------------------------------------------------------------------------
```{r}
# 3) Probabilités prédites (286 x 3)
phat_sub <- predict(mod_sub_full, type = "probs")
colMeans(phat_sub)
```
```{r}
# 4) On transforme en tibble et on renomme
phat_sub_tbl <- as_tibble(phat_sub)
names(phat_sub_tbl) <- paste0("p_", levels(cancer_complete$subtype_f))
# ex : "p_adenocarcinomous" "p_adenosquamous" "p_other"
# 5) On colle aux données *complètes* (286 lignes)
cancer_sub <- bind_cols(cancer_complete, phat_sub_tbl)
cancer_sub |>
dplyr::select(subtype_f, starts_with("p_")) |>
slice(1:5)
```
------------------------------------------------------------------------
### Test d’ajustement (Hosmer–Lemeshow multinomial)
On utilise `logitgof()` du package **generalhoslem**.
- `obs` : modalités de `SUBTYPE` sous forme numérique (1, 2, 3).
- `exp` : matrice de probabilités prédites.
- `g` : nombre de groupes (à ajuster si nécessaire).
```{r}
#| label: gof-subtype
#| warning: false
y_num <- as.numeric(cancer_sub$subtype_f)
exp_mat <- as.matrix(phat_sub)
# Exemple avec 10 groupes
gof_10 <- logitgof(obs = y_num, exp = exp_mat, g = 10)
gof_10
```
> Le test de Hosmer–Lemeshow (généralisé au multinomial et implémenté
> par `logitgof()` dans `generalhoslem`) compare, dans des groupes de
> probabilités prédites similaires, les effectifs observés de chaque
> catégorie de la variable dépendante aux effectifs attendus selon le
> modèle. La statistique de test est de type χ². Une grande p-value
> indique que l’on ne détecte pas de mauvais ajustement global du modèle
> aux données ; une petite p-value suggère un manque d’adéquation
> (modèle mal calibré).
------------------------------------------------------------------------
Si le test ne passe pas (classes attendues trop petites), on réduit le
nombre de groupes :
```{r}
#| label: gof-subtype-multi-g
library(purrr)
map_df(4:10, ~{
out <- try(logitgof(y_num, exp_mat, g = .x), silent = TRUE)
tibble(
g = .x,
stat = if (inherits(out, "try-error")) NA_real_ else out$statistic,
p_value = if (inherits(out, "try-error")) NA_real_ else out$p.value
)
})
```
------------------------------------------------------------------------
**Lecture :**
- p-value **grande** → pas d’évidence de mauvais ajustement.
- p-value **petite** → modèle mal ajusté (au moins pour certains
groupes).
> En diminuant le nombre de groupes, le test Hosmer–Lemeshow devient
> applicable. Les p-values varient avec g, ce qui montre que le test est
> assez instable dans ce petit échantillon multinomial. Néanmoins, pour
> la plupart des partitions (g = 4, 5, 7, 8, 9, 10), on ne rejette pas
> l’hypothèse d’un bon ajustement (p-value \> 5 %). On peut donc
> conclure qu’**il n’y a pas de signe clair de mauvais ajustement du
> modèle aux données**, tout en rappelant que ce test doit être
> interprété avec prudence.
------------------------------------------------------------------------
### Simplification du modèle (tests LR)
On cherche un modèle **plus parcimonieux** en retirant les variables non
significatives.
Exemple : on teste si on peut retirer `smk_f` puis `age_f`
```{r}
#| label: mod-subtype-simplify
# Modèle sans SMK
mod_sub_nosmk <- multinom(
subtype_f ~ race_f + estrogen_f + age_f,
data = cancer
)
# Test LR : mod_sub_nosmk vs mod_sub_full
anova(mod_sub_nosmk, mod_sub_full)
```
**Test 1 : peut-on retirer `smk_f` ?**\
Modèles comparés :
1. Modèle réduit : `subtype_f ~ race_f + estrogen_f + age_f`
2. Modèle complet : `subtype_f ~ race_f + estrogen_f + smk_f + age_f`
Résultat du test LR :
- À 5 %, on **rejette** H₀ “on peut enlever `smk_f`” : **le tabagisme
(`smk_f`) apporte une information significative** pour expliquer le
sous-type de cancer → on **garde `smk_f`**.
------------------------------------------------------------------------
```{r}
# Modèle sans AGE (à partir du modèle sans SMK par exemple)
mod_sub_noage <- multinom(
subtype_f ~ race_f + estrogen_f + smk_f,
data = cancer
)
anova(mod_sub_noage, mod_sub_full)
```
------------------------------------------------------------------------
**Interprétation :**
- Si la p-value du test LR est **\> 5 %**, on ne rejette pas $H_0$ :
le modèle réduit n’est pas significativement pire → on peut
**retirer** la variable.
- On garde donc `smk_f` mais pas `age`
> Les degrés de liberté du test de rapport de vraisemblance sont égaux
> au **nombre de paramètres supprimés** entre le modèle complet et le
> modèle réduit.\
> Dans un modèle multinomial, retirer une variable facteur à $L$
> modalités enlève $(J-1)(L-1)$ coefficients, donc $(J-1)(L-1)$ degrés
> de liberté. $J$ catégories et $L$ modalités.
------------------------------------------------------------------------
### Test meilleur modèle
On teste sur les deux variables restantes
```{r}
#| label: helper-select-best
#| echo: true
# Modèle sans RACE (à partir du modèle sans SMK par exemple)
mod_sub_norace <- multinom(
subtype_f ~ age_f + estrogen_f + smk_f,
data = cancer
)
anova(mod_sub_norace, mod_sub_full)
```
------------------------------------------------------------------------
On retire la variable estrogen pour expliquer `SUBTYPE` :
```{r}
#| label: best-subtype-example
# 1) Construire un sous-échantillon complet pour toutes les variables en jeu
cancer_lr <- cancer |>
filter(
!is.na(subtype_f),
!is.na(age_f),
!is.na(race_f),
!is.na(smk_f),
!is.na(estrogen_f) # même si tu ne l'utilises pas dans tous les modèles
)
# 2) Re-estimer les modèles sur CE MÊME jeu de données
mod_sub_full <- multinom(
subtype_f ~ age_f + race_f + smk_f + estrogen_f,
data = cancer_lr
)
mod_sub_noestro <- multinom(
subtype_f ~ age_f + race_f + smk_f,
data = cancer_lr
)
# 3) Maintenant, le test LR fonctionne
anova(mod_sub_noestro, mod_sub_full, test = "Chisq")
```
> La fonction se base uniquement sur les **résultats passés** (modèles
> déjà estimés)\
> et sélectionne celui qui minimise l’AIC (ou le BIC).
------------------------------------------------------------------------
### Interprétation économique du modèle final
```{r}
mod_sub_final <- multinom(
subtype_f ~ age_f + smk_f,
data = cancer
)
res_sub <- tidy(mod_sub_final,
exponentiate = TRUE, # passe en OR
conf.int = TRUE) # ajoute IC 95%
res_sub
```
Principe d’interprétation :
- Un odds-ratio **\> 1** pour une modalité donnée signifie que la
variable augmente les **cotes** d’appartenir à ce type de cancer par
rapport à la référence (`adenocarcinomous`), toutes choses égales
par ailleurs.
- Un odds-ratio **\< 1** signifie au contraire une diminution des
cotes.
------------------------------------------------------------------------
### Tableau de contingence des individus bien / mal classés
#### (a) Effectifs par type de tumeur observée
```{r}
#| label: tab-subtype-obs
cancer_sub |>
count(subtype_f)
```
------------------------------------------------------------------------
#### (b) Classe prédite par « probabilité max » (règle du 1er choix)
On attribue à chaque individu la **classe prédite** correspondant à la
probabilité la plus élevée :
```{r}
#| label: pred-class-argmax
phat_sub <- predict(mod_sub_final, type = "probs")
colMeans(phat_sub)
phat_sub_tbl <- as_tibble(phat_sub)
names(phat_sub_tbl) <- paste0("p_", levels(cancer_complete$subtype_f))
# ex : "p_adenocarcinomous" "p_adenosquamous" "p_other"
cancer <- bind_cols(cancer, phat_sub_tbl)
# vecteur des probas sous forme de matrice
probs_mat <- as.matrix(
cancer[, c("p_adenocarcinomous", "p_adenosquamous", "p_other")]
)
# indices de la proba max par individu (1, 2 ou 3)
idx_max <- max.col(probs_mat)
# noms des modalités dans le bon ordre
lev <- c("adenocarcinomous", "adenosquamous", "other")
cancer <- cancer |>
mutate(
pred_subtype = factor(lev[idx_max],
levels = levels(subtype_f))
)
cancer |>
dplyr::select(subtype_f, pred_subtype, starts_with("p_")) |>
slice(1:5)
```
------------------------------------------------------------------------
```{r}
tab_sub <- table(
Observed = cancer$subtype_f,
Predicted = cancer$pred_subtype
)
tab_sub
prop_ok <- sum(diag(tab_sub)) / sum(tab_sub)
1-prop_ok
```
------------------------------------------------------------------------
## B. Modèle ordinal pour expliquer GRADE
On modélise le **stade de la tumeur** (bien / moyennement / peu
différenciée) en fonction de :
- `RACE`, `ESTROGEN`, `SUBTYPE`, `AGE`, `SMK`.
------------------------------------------------------------------------
### Modèle de base (logit ordinal)
On utilise `polr()` (MASS) avec `grade_ord` comme variable ordinale.
```{r}
#| label: mod-grade-base
mod_grade_base <- polr(
grade_ord ~ race_f + estrogen_f + subtype_f + age_f + smk_f,
data = cancer,
Hess = TRUE
)
summary(mod_grade_base)
```
Les sorties donnent :
- Les coefficients $\beta$ (effets sur le **score latent**),
- Les seuils (cutpoints) séparant les catégories de `GRADE`.
------------------------------------------------------------------------
### Test d’ajustement via interactions (LR tests)
#### Interaction ESTROGEN × SUBTYPE
On ajoute l’interaction `estrogen_f * subtype_f` :
```{r}
#| label: mod-grade-int-es
mod_grade_es <- polr(
grade_ord ~ race_f + estrogen_f * subtype_f + age_f + smk_f,
data = cancer,
Hess = TRUE
)
anova(mod_grade_base, mod_grade_es)
```
- `anova()` réalise un **test LR** entre modèle sans interaction
(`mod_grade_base`) et modèle avec interaction (`mod_grade_es`).
- On lit la **p-value** :
- si petite → l’interaction améliore le modèle ;
- si grande → on peut s’en passer.
------------------------------------------------------------------------
#### Autres interactions possibles
On peut tester d’autres interactions pertinentes, par exemple :
- `ESTROGEN × AGE` :
```{r}
#| label: mod-grade-int-eage
mod_grade_eage <- polr(
grade_ord ~ race_f + estrogen_f * age_f + subtype_f + smk_f,
data = cancer,
Hess = TRUE
)
anova(mod_grade_base, mod_grade_eage)
```
------------------------------------------------------------------------
- `SUBTYPE × AGE` :
```{r}
#| label: mod-grade-int-sage
mod_grade_sage <- polr(
grade_ord ~ race_f + estrogen_f + subtype_f * age_f + smk_f,
data = cancer,
Hess = TRUE
)
anova(mod_grade_base, mod_grade_sage)
```
Pour chaque interaction :
- Si la p-value LR est **faible** → interaction importante → à garder
;
- Sinon → pas de gain significatif → on privilégie le modèle sans
interaction.
------------------------------------------------------------------------
### Sélection de modèle
```{r}
summary(mod_grade_base)
```
------------------------------------------------------------------------
### Interprétation du modèle ordinal final
- **Race (noire vs non noire)**
- Coefficient = 0,60 (t ≈ 2,14) → **significatif**.
- Les femmes noires ont des **cotes ≈ 1,8 fois plus élevées**
d’avoir un grade plus mauvais (passer vers “moyennement/peu
différencié”), toutes choses égales par ailleurs.
- **Traitement aux œstrogènes (oui vs non)**
- Coefficient = −0,61 (t ≈ −2,41) → **significatif**.
- Les femmes ayant reçu un traitement œstrogénique ont des **cotes
≈ divisées par 2** d’avoir un grade plus mauvais.
→ Le traitement est associé à des **grades un peu meilleurs**.
- **Sous-type tumoral** (réf. = adenocarcinomous)
- *adenosquamous* : coef = 1,78 (t ≈ 5,48) → très significatif.\
→ Cotes ≈ 6 fois plus élevées d’avoir un **grade plus
défavorable** que l’adenocarcinome.
- *other* : effet faible et **non significatif**.
- **Âge (65–79 ans) et tabagisme (smk_fyes)**
- Coefficients proches de 0, t très faibles → **pas d’association
significative** avec le grade, une fois contrôlé pour race,
sous-type et œstrogènes.
------------------------------------------------------------------------
## Conclusion TD3
- On a estimé :
- un **logit multinomial nominal** pour `SUBTYPE` ;
- un **logit ordinal** pour `GRADE`.
- On a :
- testé l’ajustement du modèle nominal via un **Hosmer–Lemeshow
multinomial** ;
- utilisé des **tests de rapport de vraisemblance** pour :
- simplifier les modèles (variables non significatives),
- tester l’intérêt d’interactions dans le modèle ordinal ;
- Choisi les spécifications finales.
À retenir :
- Pour les variables **nominales**, on compare chaque modalité à une
**référence** via des odds-ratios.
- Pour les variables **ordinales**, le modèle logit/probit ordonné
repose sur une **variable latente** et des **seuils**, avec une
interprétation en termes de tendance vers des catégories plus
élevées ou plus basses.