Endogénéité et Méthode des Variables Instrumentales
Note
Si \(\mathrm{Cov}(X,\varepsilon)\neq 0\), l’estimateur MCO est biaisé et non convergent : il ne mesure pas l’effet causal de \(X\) sur \(Y\).
Vrai modèle : \(Y_i=\beta_0+\beta_1 X_{1i}+\beta_2 X_{2i}+\varepsilon_i\).
Mais on estime : \(Y_i=\beta_0+\beta_1 X_{1i}+\varepsilon_i\) avec \(X_{1}\) corrélé à \(X_{2}\).
Sens du biais sur \(\hat\beta_1\) :
| \(\mathrm{corr}(X_1,X_2)>0\) | \(\mathrm{corr}(X_1,X_2)<0\) | |
|---|---|---|
| \(\beta_2>0\) | + (vers le haut) | − (vers le bas) |
| \(\beta_2<0\) | − | + |
L’omission « pousse » \(\hat\beta_1\) dans le sens de la corrélation entre \(X_1\) et la variable manquante \(X_2\).
On estime \(Y_i=\beta_0+\beta_1 X_i+\varepsilon_i\) alors qu’en réalité \(X_i=\gamma_0+\gamma_1 Y_i+\gamma_2 Z_i+\nu_i\) (boucle de rétroaction).
Exemple : croissance du PIB \(\leftrightarrow\) dette publique.
Sens du biais (sur \(\hat\beta_1\)) :
| \(\gamma_1>0\) | \(\gamma_1<0\) | |
|---|---|---|
| \(\beta_1>0\) | + | − |
| \(\beta_1<0\) | − | + |
L’effet estimé « récupère » une partie du retour \(Y\to X\).
On souhaite \(Y_i=\beta_0+\beta_1 X_i+\varepsilon_i\), mais on observe \(\tilde X_i=X_i+\nu_i\).
Alors : \(Y_i=\beta_0+\beta_1 \tilde X_i +(\varepsilon_i-\beta_1\nu_i)\), d’où \(\tilde X\) corrélée à l’erreur composite.
Conséquence : biais d’atténuation (vers 0) sur \(\hat\beta_1\).
But : isoler la variation exogène de \(X\) avec un instrument \(Z\).
Conditions pour \(Z\) :
Pertinence : \(\mathrm{Cov}(Z,X)\neq 0\) (pouvoir explicatif).
Exogénéité exclue : \(Z\) n’affecte \(Y\) que via \(X\) (\(\mathrm{Cov}(Z,\varepsilon)=0\)).
View → IV Diagnostics and Tests → Weak Instrument Diagnostics.View → IV Diagnostics and Tests → Instrument Orthogonality Test.Tip
En pratique, on dispose rarement de sur-identification « confortable »; la justification théorique de \(Z\) reste centrale.
View → IV Diagnostics and Tests → Regressor Endogeneity Test.| \(\mathrm{corr}(X_1,X_2)>0\) | \(\mathrm{corr}(X_1,X_2)<0\) | |
|---|---|---|
| \(\beta_2>0\) | + | − |
| \(\beta_2<0\) | − | + |
| \(\gamma_1>0\) | \(\gamma_1<0\) | |
|---|---|---|
| \(\beta_1>0\) | + | − |
| \(\beta_1<0\) | − | + |
View → IV Diagnostics and Tests → Weak Instrument DiagnosticsView → IV Diagnostics and Tests → Instrument Orthogonality TestView → IV Diagnostics and Tests → Regressor Endogeneity TestChargez le workfile Marshall (contient offre1–offre4, p1–p4, Y, W).
Marshall.wf*.View → Descriptive Statistics → Histogram and stats pour un coup d’œil rapide.Estimez les fonctions d’offre par MCO :
pour i = 1 à 3: offrei = α + β Pi + ε
et offre4 = α + β P4 + π W + ε, avec W exogène.
offre1 c p1offre2 c p2offre3 c p3offre4 c p4 WCaution
Rappel : si \(\mathrm{Cov}(P,\varepsilon)\neq 0\) (ex. offre_i ⇄ p_i), MCO est biaisé. On vérifiera ensuite avec des tests d’exogénéité.
Indiquez, à l’aide du test de Nakamura & Nakamura, le caractère exogène des variables de prix, en prenant comme instrument le revenu Y.
Quick → Estimate Equation → Method: TSLS/IV,Estimez, si nécessaire, les fonctions d’offre à l’aide de la méthode des variables instrumentales, en utilisant Y comme instrument.
p1 (ou p2/p3/p4).Y (ajouter W pour offre4).Econométrie - L3