1.1 Les hypothèses des estimations MCO

• L’estimateur des Moindres Carrés Ordinaires est le meilleur estimateur linéaire sous certaines hypothèses

• Ces hypothèses concernent les termes d’erreurs ( \(\varepsilon\) ):

  • Normalité des résidus: \(\varepsilon \leadsto N(0,\sigma_{\varepsilon}^2)\)

  • Espérance nulle: \(E(\varepsilon_{i})=0\)

  • Homoscédasticité: \(V(\varepsilon_{i})=\sigma^2=\text{constante}\)

  • Indépendance sérielle: \(Cov(\varepsilon_{i},\varepsilon_{j})=0,\quad \forall i\neq j\)

    (Absence de corrélation entre les résidus)

  • Orthogonalité des résidus (ou exogénéité): \(Cov(x_{i},\varepsilon_{i})=0\)

  ---

1.2 Précisions sémantiques

• On distingue les propriétés sur petits échantillons et grands échantillons. Les propriétés sur petits échantillons:

  • L’estimateur est sans biais si \(E(\hat{\beta})=\beta\).

  • L’estimateur est à variance minimale si \(Var(\hat{\beta}) \leq Var(\tilde{\beta})\)

    avec \(\tilde{\beta}\) un autre estimateur sans biais de \(\beta\).

  • L’estimateur est efficace s’il remplit ces deux propriétés

• Sur grands échantillons:

  • L’estimateur est convergent si la variance de \(\beta\) tend vers 0 quand N tend vers l’infini:

    \(\lim_{N \to \infty} Var(\beta)=0\)

1.3 Hypothèse et propriétés des estimateurs

• Ce TD se concentre uniquement sur le problème d’éfficience

1.4 Les tests d’hypothèses

• Objectif :
  • Voir si le modèle est économétriquement correct.
• Comment ?

  • En vérifiant que les erreurs respectent les hypothèses des MCO et que l’estimateur est efficace (BLUE).

  • En particulier, les tests se concentrent sur cinq hypothèses :

    1. Normalité des résidus : \(ε ~ N(0, σ²_ε)\)
    2. Espérance nulle : \(E(εᵢ) = 0\)
    3. Homoscédasticité : \(Var(εᵢ) = σ²\) (constante)
    4. Indépendance sérielle : \(Cov(εᵢ, εⱼ) = 0\) pour tout \(i ≠ j\)
    5. Orthogonalité des résidus : \(Cov(xᵢ, εᵢ) = 0\)
• Remarque :
  • H2 est respectée par construction de l’estimateur MCO.
  • H5 fait l’objet d’un traitement particulier (cf. Semestre 2).

1.5 Les tests d’hypothèses

2.1 Le test de Bera–Jarque

• La normalité des écarts aléatoires est utile pour mettre en œuvre les tests de sphéricité.

• Le test utilisé est celui de Bera–Jarque.

• Ce test repose sur deux indicateurs :

  • Skewness \(η\) : mesure l’asymétrie de la distribution
    ( \(η\) doit être = 0).
  • Kurtosis \(υ\) : représente l’aplatissement de la distribution
    ( \(υ\) doit être = 3).

2.2 Le test de Bera–Jarque

• La statistique BJ calculée est :

  BJ = N [ η² / 6 + (υ – 3)² / 24 ] → suit une loi χ²(2)

• Hypothèses testées :

  • H₀ : BJ = 0 → la distribution suit une loi normale
  • H₁ : BJ ≠ 0 → la distribution ne suit pas une loi normale

• Règle de décision :
  Si BJ > χ²(2)₍th₎ (≈ 6 au seuil de 5 %),
  ⇒ on rejette H₀.

2.3 Le test de Bera–Jarque (dans EViews)

• Pour administrer le test via l’interface graphique :

  1. Ouvrir la fenêtre de l’équation.
  2. Aller dans View → Residual Diagnostic.
  3. Choisir Histogram – Normality Test pour lancer le test de BJ.
  4. Lire et interpréter les résultats.
  Tip

  Remarque : la procédure est identique pour les autres tests de sphéricité,
  à l’exception de l’étape 3.

3.1 Test de Breusch–Pagan

• Logique : vérifier si la variance des résidus dépend des variables explicatives.

• Modèle estimé :

  • \(Yᵢ = β₀ + β₁ Xᵢ + β₂ Zᵢ + εᵢ\)
  • \(ε̂ᵢ = Yᵢ – β̂₀ – β̂₁ Xᵢ – β̂₂ Zᵢ\)

• Hypothèses :

  • \(H₀\) : \(Var(ε̂ᵢ) = σ²\) (la variance ne dépend pas des variables explicatives)
  • \(H₁\) : \(Var(ε̂ᵢ) = σᵢ² = θ₀ + θ₁ Xᵢ + θ₂ Zᵢ + ωᵢ\)
    ( \(θ₁ et θ₂ ≠ 0\) → variance liée aux variables explicatives)
  Tip

  Remarque : la variance des erreurs est approximée par les résidus au carré : \(Var(εᵢ) ≈ ε̂ᵢ²\).

3.2 Test de Breusch–Pagan : procédure

1. Estimer le modèle par MCO.

2. Calculer les résidus au carré : \(ε̂ᵢ²\).

3. Régression de test :

   \(ε̂ᵢ² = θ₀ + θ₁ Xᵢ + θ₂ Zᵢ + ωᵢ.\)

4. Examiner le pouvoir explicatif via le R² de cette équation :

   • Statistique \(BP = N × R²\) → suit une loi \(χ²(K – 1)\), K = nombre de paramètres.
   • Règle : si \(BP ≥ χ²_th\) ⇒ rejet de \(H₀\).

3.3 Test de White

• Même logique et démarche que Breusch–Pagan, mais avec une représentation plus flexible de l’hétéroscédasticité.

• Hypothèses :

  • \(H₀ : Var(ε̂ᵢ) = σ²\)
  • \(H₁ : Var(ε̂ᵢ) = σᵢ² = θ₀ + θ₁ Xᵢ + θ₂ Zᵢ + θ₃ Xᵢ² + θ₄ Xᵢ Zᵢ + θ₅ Zᵢ² + ωᵢ\)
    (les coefficients θ sont conjointement ≠ 0)

• Équation de test : \(ε̂ᵢ² = θ₀ + θ₁ Xᵢ + θ₂ Zᵢ + θ₃ Xᵢ² + θ₄ Xᵢ Zᵢ + θ₅ Zᵢ² + ωᵢ.\)

3.4 Statistiques du test de White

• Statistique principale :
  • \(W = N × R² → loi χ²(K – 1)\), K = nombre de paramètres (ici 6).
• Version petits échantillons (F-test) :
  • \(W = ((SCR_r – SCR_nr) / SCR_r) × (N – k) / (k – 1) → F(k – 1, N – k)\)
    • \(SCR_r\): somme des carrés des résidus en régressant ε̂ᵢ² sur constante seule.
    • \(SCR_nr\): idem mais sur l’équation de test.
    • k : nombre de paramètres sous H₀ (ici 3).
• Règle de décision : si \(W ≥ χ²_th ⇒ rejet de H₀\).

3.5 Mise en œuvre sous EViews

• Les tests de Breusch–Pagan et de White sont directement programmés :
  • View → Residual Diagnostic → Heteroskedasticity Tests
    • Breusch–Pagan–Godfrey : test de Breusch–Pagan
    • White : test de White

4.1 Test de Durbin–Watson

• Premier test développé, avec des conditions restrictives :

  • Il faut une constante dans le modèle.

  • Le nombre d’observations doit être supérieur à 15.

  • La variable expliquée retardée ne doit pas être introduite dans le modèle.

  • Pas de données manquantes.

  • On ne peut tester que l’autocorrélation issue d’un processus AR(1) :

    \(εₜ = ρ εₜ₋₁ + υₜ.\)

• Ce test a servi de base à de nombreux autres tests d’autocorrélation.

4.2 Hypothèses du test

• \(H₀ : Yₜ = β₀ + β₁ Xₜ + β₂ Zₜ + εₜ\)

• \(H₁ : Yₜ = β₀ + β₁ Xₜ + β₂ Zₜ + εₜ\)
  avec \(εₜ = ρ εₜ₋₁ + υₜ.\)

• Sous H₁, l’écart aléatoire est corrélé dans le temps.

• Statistique de Durbin–Watson :

  \(DW = Σₜ₌₂ᵀ (ε̂ₜ – ε̂ₜ₋₁)² / Σₜ₌₁ᵀ ε̂ₜ² ≈ 2 (1 – ρ̂)\)

• Cette statistique est directement fournie par EViews dans le tableau de régression.

4.3 Interprétation

• La statistique DW ne suit pas une loi standard : \(0 ≤ DW ≤ 4\).
• Les auteurs ont tabulé des valeurs critiques : \(D_L et D_U (D_L < D_U).\)

Lecture :

• Test imparfait en raison de la zone de doute et des conditions restrictives.
• Dans la table DW, les colonnes dépendent du nombre de paramètres du modèle hors constante.

4.4 Test de Breusch–Godfrey

• Breusch et Godfrey ont développé un test de maximum de vraisemblance plus flexible :

  • permet de tester des processus autorégressifs d’ordre ≥ 1.

• Exemple d’un processus d’ordre 2 :

  • \(H₀ : Yₜ = β₀ + β₁ Xₜ + β₂ Zₜ + εₜ\)
  • \(H₁ : Yₜ = β₀ + β₁ Xₜ + β₂ Zₜ + εₜ\)
    avec \(εₜ = ρ₁ εₜ₋₁ + ρ₂ εₜ₋₂ + υₜ.\)

• Équation de test : \(ε̂ₜ = ρ₁ ε̂ₜ₋₁ + ρ₂ ε̂ₜ₋₂ + θ₁ Xₜ + θ₂ Zₜ + ωₜ.\)

• Statistique : \(BG = T × R²\) → suit une loi \(χ²(t)\), où t est l’ordre du processus autorégressif (ici 2).

• Règle de décision :
  Rejeter \(H₀\) si \(BG ≥ χ²_th\).

• Procédure sous EViews :

  • View → Residual Diagnostic → Serial correlation LM test.
  • Choisir le nombre de retards (lags) à tester.

6.1 Importez le fichier de travail sur les compagnies aériennes.

6.2 Estimez l’équation suivante par les MCO :

\(log(Pass_i) =\beta_0 + \beta_1 Fatal_Passagers_i + \beta_2 NonFatal_Passagers_i + \beta_3 Low_cost_i \ + \beta_4 Public_i + \beta_5 Inter_i + \beta_6 Age_i + \beta_7 Trafic_nat_i + \beta_8 Trafic_dest_i +\varepsilon_i\)

6.3 Homoscédasticité

· Qu’est-ce que l’homoscédasticité et quel problème induit son non-respect pour les MCO ?

6.4 Homoscédasticité

· A l’aide des tests de Goldfeld et Quandt, de Breusch-Pagan-Koenker et de White, que peut-on conclure quant à l’homoscédasticité du terme d’erreurs ?

6.5 Correction(s)

· En fonction des résultats des divers tests, proposez une correction le cas échéant.

6.6 Correction(s)

· Vos conclusions quant à l’effet des accidents mortels et non mortels sont-elles modifiées ?